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Analysis » Funktionalanalysis » Bilder der Einheitsvektoren unter stetiger Abbildung summierbar?
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Universität/Hochschule Bilder der Einheitsvektoren unter stetiger Abbildung summierbar?
mpc
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  Themenstart: 2021-04-15

Hallo. Ich habe eine Aufgabe, bei der ich zeigen muss, dass: für \(f \in (l^\infty )'\) ist \( (f(e_k))_{k\in \mathbb{N}} \in l^1\), also \(\sum^\infty \vert f(e_k) \vert < \infty \). Kann das überhaupt stimmen? Es ist doch \((e_k)_k \in l^\infty\) keine Nullfolge, und daher auch \((f(e_k)) \subset \mathbb{R}\) keine Nullfolge, und daher kann es gar nicht summierbar sein... Über eine Aufklärung würde ich mich freuen, Lg!


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Fabi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-15

Hallo, \quoteon(2021-04-15 16:01 - mpc im Themenstart) und daher auch \((f(e_k)) \subset \mathbb{R}\) keine Nullfolge, \quoteoff Kannst du dieses "daher" mal genauer begründen? Als Hinweis: Es gibt zwei Bedingungen an f: - f ist linear - f ist stetig Beide wirst du nutzen müssen. vG, Fabi


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-15

Ja, es ist anders herum. Es gilt $(\ell^1)' \cong \ell^{\infty}$, aber $(\ell^{\infty})'$ ist viel komplizierter und kann mit dem Raum der endlichen Borelmaße auf der Stone-Cech-Kompaktifizierung $\beta \IN$ identifiziert werden (siehe hier). [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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mpc
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15

\quoteon(2021-04-15 16:27 - Fabi in Beitrag No. 1) Hallo, \quoteon(2021-04-15 16:01 - mpc im Themenstart) und daher auch \((f(e_k)) \subset \mathbb{R}\) keine Nullfolge, \quoteoff Kannst du dieses "daher" mal genauer begründen? Als Hinweis: Es gibt zwei Bedingungen an f: - f ist linear - f ist stetig Beide wirst du nutzen müssen. vG, Fabi \quoteoff Richtig wäre eher: Die Folge \((e_k)_k\) hat in \(l^\infty\) keinen Grenzwert, also kann man über das Grenzverhalten der Folge \( (f(e_k))_k\) nicht viel aussagen, potenziell ist es sogar eine Nullfolge. Oder? Und die (Folgen)Stetigkeit weiss ich nicht wie ich verwenden soll, da die Argumentfolge \((e_k)_k\) gegen nichts konvergiert...


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Fabi
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-15

Hi, @Triceratops Es wird auch nirgendwo behauptet, dass die Abbildung eine Bijektion ist. @mpc Für lineare stetige Abbildungen gibt es eine deutlich einfachere Charakterisierung von Stetigkeit als Folgenstetigkeit. vG, Fabi


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mpc
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15

\(f\) ist stetig , wenn es eine Konstante \(M\) gibt, sodass \(\vert f(x) \vert \leq M \vert \vert x \vert \vert \) für alle \(x \in l^\infty \). Im Falle der Einheitsvektoren gilt dann \( \vert f(e_k) \vert \leq M\). Daraus kann man jetzt noch nichts über die absolute Summierbarkeit folgern. Dann gibt es noch das Kriterium, dass \(f\) stetig ist, genau dann wenn \(ker(f)\) abgeschlossen ist...


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mpc
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15

Ich glaube ich habe einen Hinweis darauf gefunden, dass die Linearität von f wichtig ist. Die Norm \(\vert \vert . \vert \vert _\infty \) auf \(l^\infty\) ist ja eine stetige nichtlineare Abbildung in den Skalarkörper. \(f(x):= \vert \vert x \vert \vert\). Dann ist \(f(e_k)=1 \) , also ist \(\sum \vert f(e_k) \vert \) sicher nicht endlich.


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Triceratops
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-15

@Fabi: Stimmt. @mpc: Eine stetige lineare Abbildung $f : V \to W$ zwischen normierten Räumen $(V,|~|)$, $(W,|~|)$ hat eine Norm $|f|$. Sie ist die kleinste nichtnegative reelle Zahl mit der Eigenschaft $|f(x)| \leq |f| \cdot |x|$ für alle $x \in V$. Insbesondere gilt $|x| \leq 1 \implies |f(x)| \leq |f|$. Für $f \in (\ell^{\infty})'$ hat nun jede endliche Partialsumme von $\sum_k |f(e_k)|$ die Form $f(x)$ für ein $x \in \ell^{\infty}$ mit $|x| \leq 1$ (wieso?), ist also durch $|f|$ beschränkt.


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mpc
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15

Ah! \(\sum^n_{k=1} \vert f(e_k) \vert = \sum sgn(f(e_k)) f(e_k) = f(\sum sgn(f(e_k)) e_k)\). Die Einträge von dieser Summe sind allesamt \(0 , 1 \) oder \(-1\), und daher \(\vert \vert \sum sgn(f(e_k))e_k \vert \vert \leq 1 \). Und jetzt die Abschätzung die du erwähnt hast. Danke!


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Triceratops
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-15

Richtig. 👍


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