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Mathematik » Stochastik und Statistik » Anwendung zentraler Grenzwertsatz
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Universität/Hochschule J Anwendung zentraler Grenzwertsatz
julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-16 13:51


Hallo zusammen,

Es geht um folgende Aufgabe:

Es seinen $\bar{X_1}$ und $\bar{X_2}$ Mittelwerte von zwei unabhängigen Stichproben der Größe $n$ von der gleichen Population mit Varianz $\sigma^2$.
Man soll nun mit dem zentralen Grenzwertsatz ein $n \in \mathbb{N}$ bestimmen, sodass
\[
P(|\bar{X_1} - \bar{X_2}| < \frac{\sigma}{50}) \approx 0.99
\]
Für $\bar{X_1}$ oder $\bar{X_2}$ kann ich den ZGWS ja anwenden, ich habe aber leider keine wirkliche Idee wie ich die Differenz der beiden Mittelwerte geeignet approximieren kann.  

Bringt es hier eventuell etwas, mit Slutsky's Theorem zu argumentieren?

Ich würde mich über einen Hinweis bzw. einen Ansatz freuen.

Grüße




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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-16 14:47


2021-04-16 13:51 - julian2000P im Themenstart schreibt:
 

Ich würde mich über einen Hinweis bzw. einen Ansatz freuen.
 


Beachte, dass $\bar X_1-\bar X_2$ wegen der Unabhaengigkeit approximativ normalverteilt ist ...

vg Luis



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julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 22:43


Hallo luis52,

zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort.

Ich hätte nun versucht das Beispiel folgendermaßen zu lösen:

Ich betrachte $\text{Var}[\bar{X_1}-\bar{X_2}] =\text{Var}[\bar{X_1}] + \text{Var}[\bar{X_2}] = 2 \sigma^2$.
Aus dem CLT folgt nun dass
\[
\sqrt{n}\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{\sqrt{2}\sigma}
\] in Verteilung gegen ein $N(0,1)$ Verteilung $Z$ konvergiert.
Also gilt
\[
P(|\bar{X_1}-\bar{X_2}| < \frac{\sigma}{50}) = P(|\sqrt{n}\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{\sqrt{2}\sigma}| < \frac{\sqrt{n}}{50\sqrt{2}}) \approx P(|Z|< \frac{\sqrt{n}}{50\sqrt{2}}) \\=2\Phi(\frac{\sqrt{n}}{50\sqrt{2}}) -1
\] Das soll ja nun $0.99$ sein, also kann ich (Computergestützt) nach $n$ auflösen und erhalte $n = 33175$.

Kann ich das so machen? Kann ich vor allem den CLT so anwenden und ist dieses $n$ realistisch? Wäre über Feedback dankbar.

Grüße



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-17 10:35


2021-04-16 22:43 - julian2000P in Beitrag No. 2 schreibt:
 
Kann ich das so machen? Kann ich vor allem den CLT so anwenden und ist dieses $n$ realistisch? Wäre über Feedback dankbar.

Grüße

Moin  julian2000P, kann beim besten Willen keinen Fehler entdecken ... ;-)


vg Luis



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julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 11:46


Hallo luis52,

super, dann vielen Dank für deine Rückmeldung und deine Hilfe!

Grüße



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julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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