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Integration » Integration im IR^n » Coarea formula
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Universität/Hochschule Coarea formula
LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-16


Hallo, ich soll folgende Formel beweisen:

$\int_{B_R(0)} f dL^n = \int_0^R \int_{\delta B_r(0)} f dS dr$

Uns wurde als Hinweis eine Anleitung gegeben, dieser bin ich gefolgt und komme aber an dieser Stelle nicht weiter:

Ich soll beide Seiten nach $R$ differenzieren, wobei ich links noch eine geeignete Transformation $T: x \mapsto Rx$ machen musste (hab ich gemacht, siehe unten $(\ast)$). Mein Problem: die rechte Seite nach $R$ zu differenzieren, da ich ja $R$ als Intervallgrenze habe und noch ein Integral drin; wie mache ich das?

Für die linke Seite soll ich noch $\int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T)(x) \cdot x = \int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x$ $(\ast)$ partiell integrieren. Da weiß ich nicht, was ich wie wählen soll, ich kann als Randterm ja über den Rand $\delta B_1(0)$ integrieren, aber dann brauche ich ja den Normalenvektor $\nu$

Dann müsste die obige Aussage bewiesen sein...

Danke für jede Hilfe!



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-16


Hallo LamyOriginal,

2021-04-16 17:49 - LamyOriginal im Themenstart schreibt:
Mein Problem: die rechte Seite nach $R$ zu differenzieren, da ich ja $R$ als Intervallgrenze habe und noch ein Integral drin; wie mache ich das?

Setze \(g(r):=\int_{\partial B_r(0)}f\,dS\). Dann ist die rechte Seite \(\int_0^R g(r)\,dr\). Wie man dies nach \(R\) differenziert, sollte Dir eigentlich aus der Schule oder dem 1. Semester bekannt sein.



2021-04-16 17:49 - LamyOriginal im Themenstart schreibt:
Für die linke Seite soll ich noch $\int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T)(x) \cdot x = \int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x$ $(\ast)$ partiell integrieren. Da weiß ich nicht, was ich wie wählen soll, ich kann als Randterm ja über den Rand $\delta B_1(0)$ integrieren, aber dann brauche ich ja den Normalenvektor $\nu$

Der Normalenvektor auf \(\partial B_1(0)\) ist gegeben durch \(\nu(x)=x\). Bevor Du partiell integrieren kannst, musst Du noch beachten, dass \(\int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x = \int_{B_1(0)}\frac{1}{R}\nabla( f(Rx)) \cdot x\).



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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16


Hallo sonnenschein96, danke erstmal für deine Antwort!



Setze \(g(r):=\int_{\partial B_r(0)}f\,dS\). Dann ist die rechte Seite \(\int_0^R g(r)\,dr\). Wie man dies nach \(R\) differenziert, sollte Dir eigentlich aus der Schule oder dem 1. Semester bekannt sein.

Ich erhalte: $\frac{\delta}{\delta R}\int_0^R g(r) = \frac{\delta}{\delta R} (G(R)-G(0)) = g(R)$, wie resubstituiere ich $R$ wieder?



Der Normalenvektor auf \(\partial B_1(0)\) ist gegeben durch \(\nu(x)=x\). Bevor Du partiell integrieren kannst, musst Du noch beachten, dass \(\int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x = \int_{B_1(0)}\frac{1}{R}\nabla( f(Rx)) \cdot x\).

Ich habe das $\frac{1}{R}$ vor das Integral gezogen, da es unabhängig ist von der Integrationsvariablen $x$ und "werfe" ja die Ableitung von $f$ rüber. Hier bin ich allerdings verwirrt... ich integriere ja nach $x$, aber mein $\nabla f$ wurde ja nach $R$ differenziert. Was wähle ich nun bei $\int f'\cdot g$ als $f'$? Und was wäre dann $f$?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-16


2021-04-16 19:07 - LamyOriginal in Beitrag No. 2 schreibt:
[...] wie resubstituiere ich $R$ wieder?

\(g(R)=\int_{\partial B_R(0)}f\,dS\)...?


2021-04-16 19:07 - LamyOriginal in Beitrag No. 2 schreibt:
Hier bin ich allerdings verwirrt... ich integriere ja nach $x$, aber mein $\nabla f$ wurde ja nach $R$ differenziert. Was wähle ich nun bei $\int f'\cdot g$ als $f'$? Und was wäre dann $f$?

Setzt Du \(h(x):=f(Rx)\), so gilt \[\int_{B_1(0)}\nabla h(x)\cdot x\,dL^n = - \int_{B_1(0)} h(x)\cdot \operatorname{div}x\,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} h(x) x\cdot\nu(x)\,dS.\]



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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16


Danke nochmal für deine Hilfe!
$\int_{B_1(0)}\nabla h(x)\cdot x\,dL^n = - \int_{B_1(0)} h(x)\cdot \operatorname{div}x\,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} h(x) x\cdot\nu(x)\,dS $
Warum kommt hier $\operatorname{div} x$ und nicht $\nabla x$ raus?
Und wie zeige ich nun die Gleichheit davon mit $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$ ?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-16


Das ist halt die Formel für mehrdimensionale partielle Integration. Da allgemein für eine Funktion \(f\) und ein Vektorfeld \(F\) gilt, dass \[\int_\Omega(\partial_jf)F_j = -\int_\Omega f(\partial_j F_j)+\int_{\partial\Omega}f F_j\nu_j,\] folgt durch Summation über \(j\), dass
\[\int_\Omega\nabla f\cdot F = -\int_\Omega f \operatorname{div}F+\int_{\partial\Omega}f F\cdot\nu.\]

Hast Du mal \(\operatorname{div}x\) ausgerechnet? Was ist \(x\cdot \nu(x)\) für \(x\in\partial B_1(0)\)?



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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16



Hast Du mal \(\operatorname{div}x\) ausgerechnet? Was ist \(x\cdot \nu(x)\) für \(x\in\partial B_1(0)\)?

\(x\cdot \nu(x) = 1 \) für \(x\in\partial B_1(0)\), ich weiß aber leider nicht was die Divergenz von $x$ ist...




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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-16


Per Definition gilt \(\operatorname{div}x=\sum_{j=1}^n\partial_j x_j = ...\)



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16


2021-04-16 20:24 - sonnenschein96 in Beitrag No. 7 schreibt:
Per Definition gilt \(\operatorname{div}x=\sum_{j=1}^n\partial_j x_j = ...\)

Ich bin so dumm ich weiß es ehrlich nicht... 😖was sind denn die Komponenten $1,...n$?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-16


Du betrachtest \(B_R(0)\subseteq\mathbb{R}^n\) und \(f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), daher stand in Deinem ersten Beitrag im Integral auch \(\,dL^n\). (Nehmen wir \(f\) mal als stetig differenzierbar an.)

Definierst Du \(g_j(x_1,\ldots,x_n):=x_j\), dann ist \(\partial_j x_j=\partial_j g_j(x)\), d.h. Du musst \(g_j\) nach der \(j\)-ten Variable ableiten.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16


Aber was sind die Variablen, nach denen abgeleitet wird? Irgendwie bin ich durcheinander. Wenn x nicht von der Variablen abhängt, nach der differenziert wird, kommt ja 0 raus



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-16


\(\partial_j\) bedeutet \(\partial_{x_j}\), d.h. Du leitest nach \(x_j\) ab.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16


Dann kommt da ja immer $e_j$ raus, oder?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-04-16


Falls Du \(\nabla x_j=e_j\) meinst, dann ja. \(\partial_{x_j}x_j\) muss reellwertig sein und nicht vektorwertig.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16


Also ist $\operatorname{div} x = n$? Und $- \int_{B_1(0)} h(x)\cdot \operatorname{div}x\,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} h(x) x\cdot\nu(x)\,dS = - \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS $?
Z.z.: Gleichheit mit $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$...



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-04-16


2021-04-16 21:10 - LamyOriginal in Beitrag No. 14 schreibt:
Also ist $\operatorname{div} x = n$?

Ja.


2021-04-16 21:10 - LamyOriginal in Beitrag No. 14 schreibt:
Z.z.: Gleichheit mit $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$...

Aber nicht das was wir bis jetzt berechnet haben ist gleich $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$. Du fängst so an: Nach der Transformationsformel gilt

\[\int_{B_R(0)}f\,dL^n=R^n\int_{B_1(0)}f(Rx)\,dL^n\]
und dies kannst Du mit der Produktregel nach \(R\) ableiten. Dabei stößt Du unter anderem auf einen Ausdruck der Form \(\int_{B_1(0)}(\nabla f)(Rx)\cdot x\,dL^n\), welchen Du wie eben beschrieben partiell integrieren kannst.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16


Ich habe ja die linke Seite transformiert, dann differenziere ich diese nach $R$, somit muss ich doch auch die rechte Seite nach $R$ differenzieren, oder?

Für die rechte Seite erhalte ich dann: $ =\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$



\[\int_{B_R(0)}f\,dL^n=R^n\int_{B_1(0)}f(Rx)\,dL^n\] und dies kannst Du mit der Produktregel nach \(R\) ableiten.

Dann erhalte ich: $n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n \int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T_R)(x)\cdot x \,dL^n$

welchen Du wie eben beschrieben partiell integrieren kannst.

also mit: $\int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T_R)(x)\cdot x \,dL^n = - \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS $, wobei $(\nabla f \circ T_R)(x) = (\nabla f(Rx))$?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16


Und $n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n (- \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS)$ muss dann gleich$\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$ sein?



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2021-04-16 21:51 - LamyOriginal in Beitrag No. 17 schreibt:
$n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n (- \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS)$

Wobei ich hier kürzen kann: es bleibt $-R \cdot \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n + R^n \cdot \int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS$ übrig, oder?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2021-04-16


2021-04-16 21:47 - LamyOriginal in Beitrag No. 16 schreibt:
$\int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T_R)(x)\cdot x \,dL^n = - \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS $

Du hast schon wieder \(\int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x\,dL^n = \int_{B_1(0)}\frac{1}{R}\nabla( f(Rx)) \cdot x\,dL^n\) nicht beachtet, Dir fehlt also der Faktor \(\frac{1}{R}\) auf der rechten Seite.


2021-04-16 21:51 - LamyOriginal in Beitrag No. 17 schreibt:
Und $n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n (- \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS)$ muss dann gleich$\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$ sein?


Es muss dann wegen des Faktors \(\frac{1}{R}\)
$$ \begin{align*}
&n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n \frac{1}{R}\left(- \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS\right) \\
&= R^{n-1}\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS
\end{align*}
$$ sein. Dies ist nun gleich $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$.


Du erhältst damit also aus der Gleichheit der Ableitungen, dass \(\int_{B_R(0)}f\,dL^n = \int_0^R\int_{\partial B_r(0)}f\,dS\,dr + C\) mit einer Konstanten \(C\) und musst Dir noch \(C=0\) überlegen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]



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2021-04-16 22:23 - sonnenschein96 in Beitrag No. 19 schreibt:

Du hast schon wieder \(\int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x\,dL^n = \int_{B_1(0)}\frac{1}{R}\nabla( f(Rx)) \cdot x\,dL^n\) nicht beachtet, Dir fehlt also der Faktor \(\frac{1}{R}\) auf der rechten Seite.

Ach ja... Danke auf jeden Fall für deine ausführliche Hilfe und Geduld!! Ich glaube ich lasse Mathe mal für heute, ist schon zu spät...



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