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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » Lösen einer komplizierten Gleichung
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Universität/Hochschule Lösen einer komplizierten Gleichung
Wursti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-16 18:52


Hallo zusammen,

ich versuche gerade die Gleichung für die Stoßbeziehung von zwei unterschiedlichen Spezies zu lösen. Es ist ein Problem der Thermodynamik, welches zuletzt von der Lösung einer Gleichung abhängt.

Was ich weiß ist folgendes:

fed-Code einblenden

Nun setze ich alles ineinander ein und erhalte:

fed-Code einblenden

Ich möchte die Gleichung nach M1 auflösen.

Ich habe darauf alles quadriert und alle M1-Terme auf eine Seite gebracht und versuche die Gleichung in eine lösbare Form zu bringen, schaffe es aber nicht. Vielleicht funktioniert auch nur eine numerische Lösung. Falls jemand einen Rat hat, wäre ich dafür sehr dankbar.





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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-16 19:30


Hallo

Ich würde die linke Seite zu einer Wurzel zusammenfassen und dann quadrieren.

Gruß Caban



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-16 19:31


Hallo Wursti,

der Ansatz ist im Prinzip der richtige - Wurzel isolieren, dann das Ganze quadrieren, mit dem "Hauptnenner" malnehmen. Man erhält wenn ich richtig geguckt habe eine Gleichung, in der M_1 nur in geraden Potenzen vorkommt, die aber achten Grades ist. Wenn sich nicht irgendwie etwas genial "wegkürzt", dann kann man das nur numerisch lösen.

Es ist so oder so viel Schreibarbeit, man kann natürlich vorher den ganzen Konstantenwust durch neue Konstanten zusammenfassen und am Ende wieder expandieren, um zu sehen, ob es sich vereinfachen lässt. Wenn du magst, gucke ich / gucken wir sicherlich gerne drüber, wenn du das ganze durchziehst und dann irgendwie online stellst. Wie gesagt - meine Vermutung ist, es gibt keine "geschlossene Darstellung" der Lösung.

Grüße aus dem Harz
Gerhard/Gonz

PS.: natürlich doch, weil eine Gleichung achten Grades, in der nur die geraden Exponenten vorkommen, natürlich als "quartische Gleichung" eine Lösungsformel besitzt. Die ist aber nicht... besonders hübsch.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-16 20:20


Nur die letzte Gleichung betrachtet:

fed-Code einblenden



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-16 20:49


Hallo zusammen,
"unübersichtlich" ist nicht das gleiche wie "schwierig". Du, Wursti, hast wohl falsch ineinander eingesetzt, denn die resultierende Gleichung ist viel einfacher.
Außerdem habe ich Zweifel an der Gleichung (4). Welche Einheit haben die Größen $\gamma$ und $M$? Es geht um Thermodramatik, also hätte ich gesagt $M$ sind Massen. Einheitenmäßig ergibt (4) überhaupt keinen Sinn.

Ciao,

Thomas



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Wursti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 15:18


Vielen lieben Dank erstmal für eure tolle Unterstützung!

Ich werde gleich versuchen eure Tipps anzuwenden und das ganze nochmal zu versuchen. Ich habe es im Prinzip ähnlich probiert, bin aber auf nichts Lösbares gekommen durch geschicktes umformen. Ich melde mich heute abend nochmal und tippe ab, was ich habe.

Zur Gleichung (4): M und gamma sind beide dimensionslos. M ist die Mach-Zahl und gamma der Isentropenexponent. Die Gleichung sind wie gesagt die Stoßbeziehungen für einen Verdichtungsstoß. Das ganze lässt sich sehr einfach lösen, wenn vor und hinter dem Stoß dieselbe Species ist, da dann vor und hinter dem Stoß dasselbe gamma und R sind. Mit zwei Species ist es komplexer und bislang konnte ich die Gleichung nicht lösen.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-17 15:54


Hallo Wursti,
wenn es so ist, dann hast Du trotzdem falsch umgeformt. Die Gleichung wird nicht annähernd so kompliziert, wie sie da steht. Man könnte zum Beispiel die  fette Wurzel gegen den letzten Bruch ganz rechts kürzen. Dann würde es schon mal nur zu einer kubischen Gleichung für $M_1^2$ führen, und nicht zu einer quartischen. Und außerdem gibt es keinen guten Grund für den Bruch davor, und die $p_1$ und $p_2$ sind Dir komplett verloren gegangen. Oder fehlen hier noch weitere Gleichungen? Ein Term wie $1+\gamma_1M_1^2$ (im Kontrast zu $1+\frac{\gamma_1-1}2M_1^2$) kann aus den Gleichungen 1 bis 4 gar nicht entstehen.

Ciao,

Thomas



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-17 18:24


Bei mir bleibt auch analog zu R2/R1 der Quotient p1/p2 erhalten.
(kommt meist durch solch blöde griechische Buchstaben:
fed-Code einblenden
)
Deshalb ist bei mir
fed-Code einblenden

Nur Temperaturquotient kann man zum Faktor
F = (1 + (g2 - 1)/2*M2^2)/(1 + (g1 - 1)/2*M1^2)
substituieren.

M1 ist das gesuchte x:
(x*Sqrt[g1*R1*F])/(M2*Sqrt[g2*R2]) == (p2*R1*F)/(p1*R2)

Nun alles durch rechte Seite dividieren und neue Substitution:
K2 = (g1*p1^2 R2)/(324 g2 (-322 + 324 g2) p2^2 R1)
ergibt die Gleichung 4. Grades, die mit 2 geraden Potenzen in Gleichung 2. Grades leicht lösbar ist:
K2*x^2 (2 + (g1-1) x^2) = 1
mit Fallunterscheidung:
x=M1 = Abs[If[(0 < g1 < 1 && g2 > 0 && K2 > 1) || (g1 < 1 && g2 > 0 &&       0 < K2 < 1 && g1 + K2 > 1),
 Sqrt[1/(1 - g1) - Sqrt[(-1 + g1 + 2)/((-1 + g1)^2 K2)]], Sqrt[1/(1 - g1) + Sqrt[(-1 + g1 + K2)/((-1 + g1)^2 K2)]]]]

Probe mit mehreren Werten, da das Innere & äußere der Wurzel negativ werden kann:


ergibt bei Differenzbildung (letzte Zeile) immer die gewünschte 0 (+ Rundungsfehler je nach Genauigkeit der Vorgaben)




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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-17 18:28


2021-04-16 18:52 - Wursti im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Nun setze ich alles ineinander ein und erhalte:

fed-Code einblenden

Ich möchte die Gleichung nach M1 auflösen.


fed-Code einblenden


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Wursti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 19:11


Entschuldigt bitte die Verwirrung um Gleichung (4). Ich habe tatsächlich einfach eine Gleichung vergessen, weswegen ihr sie gar nicht nachvollziehen konntet! Es fehlt die Gleichung für das Druckverhältnis:

fed-Code einblenden

Das Ziel von diesem ganzen Eingesetze ist es eine Gleichung von M1 in Abhängigkeit von M2, gamma1, gamm2, R1 und R2 zu erhalten.

Ich hatte gerade ein paar persöhnliche Probleme, deswegen kann ich mich erst jetzt wieder dran setzen und eure tollen Antworten versuchen nachzuvollziehen. Ich melde mich auf jeden Fall gleich nochmal.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-04-17 19:39


Auch wenn die Lösung von Wario durch Deinen letzten Beitrag nun nicht funktioniert, bleibt es bei einer quadratischen Gleichung. Deine Gleichung ist trotzdem falsch, wenn ich mich jetzt nicht massiv verrechnet habe.

Ciao,

Thomas



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Wursti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 20:09


Hallo nochmal,

Thomas du hast, recht ich habe oben die Indizes vertauscht bei der p2/p1 Gleichung, das ist in der Tat falsch. Verzeihung.

Ich konnte den Ansatz von hyperG noch nicht ganz durchdringen, scheint etwas zu hoch für mich zu sein. Da werde ich noch ein bisschen drüber grübeln müssen.

Der Ansatz von Wario müsste doch funktionieren! Es sieht sehr einfach und elegant aus, ich hätte bestimmt noch sehr viel länger gebraucht, um darauf zu kommen. Vielen herzlichen Dank! Es wäre zwar wünschenswert eine Gleichung nur in Abhängigkeit von gamma1, Gamma2 und M2 zu erzeugen, wie es vergleichsweise einfach funktioniert bei nur einer Species, allerdings ist der Substitutionsansatz von Wario tatsächlich ausreichend, da das p1/p2 Verhältnis bekannt ist.

Es ist zwar in diesem Sinne etwas "faul" aber ansonsten ist es wohl nur numerisch lösbar.



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-04-17 21:40





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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-04-18 09:59


Die Gleichung von Wario funktioniert nicht, weil sich in seinem Faktor $a$, den er als Konstante annimmt, das Druckverhältnis verbirgt, also implizit auch $M$. Ich schreibe nachher die Lösung rein, es ist nur eine quadratische Gleichung.

Ciao,

Thomas



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-04-18 10:04





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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-04-18 10:41


Hallo Wursti,
in (3) den Doppelbruch auflösen, dann folgt aus (1), (2) und (3) direkt:
$$\frac{p_{2}R_{1}T_{1}}{p_{1}R_{2}T_{2}}=\frac{M_{1}\sqrt{\gamma _{1}R_{1}T_{1}}}{M_2\sqrt{\gamma _{2}R_{2}T_{2}}}$$$R$ und $T$ auf beiden Seiten passend kürzen:
$$\frac{p_{2}}{p_{1}}\sqrt{\frac{R_{1}}{R_{2}}} \sqrt{\frac{T_{1}}{T_{2}}}=\frac{M_{1}}{M_2} \sqrt{\frac{\gamma _{1}}{\gamma_2}}$$Quadrieren:
$$\frac{p_2^2}{p_1^2}\frac{R_{1}}{R_{2}}\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{M_1^2}{M_2^2}\frac{\gamma _{1}}{\gamma_2}$$Druck- und Temperaturverhältnisse einsetzen:
$$\left( \frac{1+\gamma _{1}M_{1}^{2}}{1+\gamma _{2}M_{2}^{2}}\right) ^{2} \cdot\frac{1+\frac{\gamma_2-1}{2}M_{2}^{2}}{1+ \frac{\gamma_1-1}{2}M_{1}^{2}}=\frac{R_{2}}{R_{1}}\left( \frac{M_{1}}{M_2}\right)^{2}\frac{\gamma_1}{\gamma_2}$$Wenn man nun mit $\left(1+ \frac{\gamma_1-1}{2}M_{1}^{2}\right)$ multipliziert, hat man links und rechts maximal quadratische Terme von $M_1^2$. Es bleibt also bei einer quadratischen Gleichung.

Ciao,

Thomas



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2021-04-18 12:15


In meinen Augen identisch zu Beitrag 12.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-18 12:58


Keine Ahnung, kann sein? Ich werde mir nicht die Mühe machen, Deinen Mega-Code in lesbare Gleichung umzusetzen. Allerdings komme ich auf eine quartische Gleichung mit geraden Exponenten - also eine quadratische Gleichung, die man von Hand relativ leicht löst. In Beitrag #12 redest Du dagegen von einer Gleichung achten Grades mit graden Exponenten, die zu einer quartischen Gleichung führen. Entweder ist es nicht identisch, oder Du hast Phantomlösungen drin.

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2021-04-18 15:27


Hallo zusammen,
wir arrangieren meine letzte Gleichung aus #15 um:
$$\left(1+\gamma _{1}M_{1}^{2}\right)^2\cdot\frac{R_1\gamma_2M_2^2\left(1+\frac{\gamma_2-1}{2}M_{2}^{2}\right)}{R_2\gamma_1\left(1+\gamma _{2}M_{2}^{2}\right)^2} =\left({1+ \frac{\gamma_1-1}{2}M_{1}^{2}}\right)M_1^2$$Wir substituieren einmal, nämlich den dicken Bruch:
$$\frac{R_1\gamma_2M_2^2\left(1+\frac{\gamma_2-1}{2}M_{2}^{2}\right)}{R_2\gamma_1\left(1+\gamma _{2}M_{2}^{2}\right)^2}=k_1>0$$Dann lautet die Gleichung:
$$k_1\left(1+\gamma _{1}M_{1}^{2}\right)^2=\left({1+ \frac{\gamma_1-1}{2}M_{1}^{2}}\right)M_1^2$$Ausmultiplizieren und alles auf eine Seite:
$$\left(k_1\gamma_1^2-\frac{\gamma_1-1}2\right)M_1^4+\left(2k_1\gamma_1-1\right)M_1^2+k_1=0$$pq-Formel:
$$M_1^2=\frac{1-2k_1\gamma_1\pm\sqrt{\left(1-2k_1\gamma_1\right)^2-2k_1\left(2k_1\gamma_1^2-\gamma_1+1\right)}}{2k_1\gamma_1^2-\gamma_1+1}$$Wurzelausdruck ausmultiplizieren und vereinfachen:
$$M_1^2=\frac{1-2k_1\gamma_1\pm\sqrt{1-2k_1\left(\gamma_1+1\right)}}{2k_1\gamma_1^2-\gamma_1+1}$$Mit dritter binomischer Formel:
$$M_1^2=\frac{2k_1}{1-2k_1\gamma_1\mp\sqrt{1-2k_1\left(\gamma_1+1\right)}}$$Man muss nun fordern, dass der Term unter der Wurzel größer als null ist:
$$1-2k_1\left(\gamma_1+1\right)\overset !\geq0$$Die Schwierigkeit besteht darin, zu entscheiden, welches Vorzeichen man wählen muss. Darüber muss ich noch ein wenig grübeln. Eine kubische Wurzel entsteht hier jedenfalls nirgends.

Ciao,

Thomas



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2021-04-18 18:04


2021-04-17 18:28 - Wario in Beitrag No. 8 schreibt:


2021-04-16 18:52 - Wursti im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Nun setze ich alles ineinander ein und erhalte:

fed-Code einblenden

Ich möchte die Gleichung nach M1 auflösen.


fed-Code einblenden
 

2021-04-17 19:11 - Wursti in Beitrag No. 9 schreibt:
Es fehlt die Gleichung für das Druckverhältnis:
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden



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Wursti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-18 20:34


Wow vielen Dank euch, für die tolle Unterstützung!

Ich denke du hast recht mit dem Problem mit p2/p1. Da es nicht beliebige Kombinationen aus M1/M2 geben kann, muss man die Terme von p2/p1 auflösen. Im Endeffekt muss das Verhältnis von M1/M2 zum Verhältnis p2/p1 führen, um eine eindeutige Lösung zu erhalten.

Zu den Bedingungen:

Für den Fall mit einer Species kann man sagen, dass reelle Lösungen nur für

fed-Code einblenden

existieren.

Mit

fed-Code einblenden

ist die Bedingung in jedem Fall erfüllt.

Für

fed-Code einblenden

erhalte ich

fed-Code einblenden

Was somit wohl stets von den Verhältnissen R2/R1 und gamma2/gamma1 abhängig bleibt, da man hier leider nicht so schön kürzen kann. Was merkwürdig ist...



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2021-04-18 20:42


Hallo Wario,
so weit waren wir schon. Du musst die Gleichung auch noch lösen...

Hallo Wursti,
Ich habe noch weitere Überlegungen angestellt. Wenn man in meiner letzten Gleichung das untere Vorzeichen (das Plus) verwendet, entsteht immer ein Wert  $0\leq M_1^2\leq1$. Das erscheint sinnvoll. Je nach der Größe von $k_1$ wird der andere Wert entweder negativ, was keine zulässige Lösung ergibt, oder es gilt $M_1^2\geq1$, was bei einem Verdichtungsstoß keinen Sinn macht. Außerdem muss $M_1\geq0$ gelten. Daher kann man eine vollständige und eindeutige Lösung angeben:
Mit
$$k=\frac{R_1\gamma_2M_2^2\left(2+(\gamma_2-1)M_{2}^{2}\right)}{R_2\gamma_1\left(1+\gamma _{2}M_{2}^{2}\right)^2}\overset !\leq\frac1{\gamma_1+1}$$folgt:
$$M_1=\sqrt{\frac k{1-k\gamma_1+\sqrt{1-k\left(\gamma_1+1\right)}}}$$(Ich habe hier der weiteren Vereinfachung wegen $k=2k_1$ gesetzt.)
Ich hoffe, das löst Dein Problem. 😉

Ciao,

Thomas



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2021-04-19 02:35


2021-04-18 20:42 - MontyPythagoras in Beitrag No. 21 schreibt:
Hallo Wario,
so weit waren wir schon. Du musst die Gleichung auch noch lösen...

Das Lösen der QGL überlasse ich dem Themenstarter. Mir ging es darum aufzuzeigen, wie man das System einfach mit Substitutionen löst, im Unterschied zum wild drauf Losrechnen, was dann quartische Gleichungen 4. Ordnung etc. erzeugt.




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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2021-04-20 12:25


Wir haben wohl unterschiedliche Vorstellungen von dem Begriff "einfach".
Wie auch immer, falls Wursti das hier noch liest, sei noch folgende Substitution erlaubt, weil sie Rückschlüsse auf die gesuchte Machzahl $M_1$ zulässt. Sei
$$q=1-k(\gamma_1+1)$$dann vereinfacht sich die Formel zu
$$M_1=\sqrt{\frac k{k+q+\sqrt{q}}}$$Da $q\geq0$ sein muss, folgt aus dieser Darstellung auch unmittelbar die Schlussfolgerung, dass $0\leq M_1\leq1$ ist.

Ciao,

Thomas



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2021-04-20 18:43


Hallo MontyPythagoras,

ich war zunächst etwas verärgert/durcheinander mit der nachträglichen Veränderung der Aufgabe {neue Definition des p1/p2-Quotienten; ich hatte es universell gehalten, was alles nur unnütz aufblähte}.

Eigentlich warst Du doch schon im Beitrag 18 fertig, was auch mit meinen 3 (!) Proben übereinstimmte.

Alles folgende war doch nur "Verschönerung" und Einschränkung.

Die Einschränkung M1 <=1 kommt doch nur durch die "schöngebogene" letzte Formel.

Wie meine Ergebnisse Lösung 2 & Deine Formel im Beitrag 18 zeigen,
kann doch M1=1.521345... -> also > 1 sein:


Auch bei M1> 1 stimmen die 3 Proben & die "physikalischen Größen" sind reell und >0. Oder gibt es Einschränkungen bei g (darf
de.wikipedia.org/wiki/Isentropenexponent nicht kleiner 1 sein? Hier ist er z.B. kleiner:
de.wikipedia.org/wiki/Isentrope_Zustands%C3%A4nderung#/media/Datei:Isothermal_and_isentropic_process.svg.png
)
 
Grüße Gerd



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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2021-04-20 18:55


2021-04-20 12:25 - MontyPythagoras in Beitrag No. 23 schreibt:
Wir haben wohl unterschiedliche Vorstellungen von dem Begriff "einfach".

Wieso, was kann man sich da verschieden vorstellen? Du führst ganz am Ende (#23) Platzhalter (p, q) ein, die einen übersichtlichen Term erzeugen. Jenes mache ich direkt am Anfang. Ansonsten schleifst den kompletten Formelsalat mit allen Größen, haufenweise Indizes etc., die für die eigentliche Rechnung keine Rolle spielen, durchgehend mit. Das mache ich, wie gesagt, nicht. Dann verteilt sich Deine Gesamtrechnung über mehrere Beiträge; etwa so wie der Themenstarter fehlende oder vergessene Informationen über mehrere Beiträge einstreut (anstatt diese im Themenstart zu editieren). Das mache ich auch nicht; bei mir steht grundsätzlich alles, was benötigt wird, im selben Beitrag; zur Not als Zitat.
Ich denke, es ist relativ simpel zu verstehen, was ich mir unter dem Begriff 'einfach' vorstelle; jedenfalls sicherlich keine leere Phrase.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]



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MontyPythagoras
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Hallo zusammen,
wenn der Threadtitel lautet: " Lösen einer komplizierten Gleichung", dann hege ich grundsätzlich den Verdacht, meistens zurecht, dass schon die Ausgangsgleichung nicht stimmt. Erst recht, wenn der Threadstarter die Urgleichungen, aus denen er es herleitet, dazuschreibt. Tatsächlich hat es bis zum Beitrag 9 gedauert, bis Wursti die Urgleichungen das erste Mal vollständig wiedergegeben hat, weil ich penetrant nachgehakt habe, und die tatsächlich zu lösende Gleichung steht erst am Ende meines Beitrags 15. Diese Herleitung müsstest Du, Wario, bei Deiner Herleitung erst einmal dazu rechnen, wodurch sie noch mal einen Tacken länger würde, denn Du fängst erst da an. Alles, was bis dahin gerechnet wurde, war für die Tonne, und in den Fed- und Codewänden drohte die tatsächlich zu lösende Gleichung schon fast unterzugehen.
Aus dem Zusammenhang wird offensichtlich, dass es hier nicht um eine Übungsaufgabe eines Neuntklässlers zur PQ-Formel geht, und es geht auch nicht darum, zu einem konkreten, zahlenmäßigen Hintergrund eine numerische Lösung zu finden. Wursti ist entweder Student oder hat beruflich mit diesem Thema zu tun, und daher sucht er mit Sicherheit nach einer Lösung, die das Erkennen von Zusammenhängen und Schlussfolgerungen zulässt, etwa in der Art: "wenn diese Größe gegen null geht, passiert dieses, und wenn sie gegen eins geht, jenes". Nur dann versteht man, was da abläuft, denn es geht hier ja um das physikalische Phänomen des Verdichtungsstoßes.
Es blieb am Ende bei der quadratischen Gleichung statt der quartischen, also welchen Sinn machte die Lösung der quartischen Lösung in einem CAS-System, das Wursti vielleicht nicht einmal hat? Und selbst wenn, soll er in einer mündlichen Prüfung zum Professor sagen: "keine Ahnung, aber mit Mathematica kriege ich das hin"?
2021-04-17 20:09 - Wursti in Beitrag No. 11 schreibt:
Ich konnte den Ansatz von hyperG noch nicht ganz durchdringen, scheint etwas zu hoch für mich zu sein. Da werde ich noch ein bisschen drüber grübeln müssen.
Haarscharf vorbei an der endgültigen Abschreckung und der Resignation, das Problem nur numerisch lösen zu können...
Und Du, Wario, substituierst Dir den Wolf, führst 8 (!) neue Variablen ein, und in Deinem Beitrag #19, denn Du mir hier als vollständige Lösung verkaufen willst, setzt Du an bei der Formel aus meinem Beitrag 15, greifst bei den Substitutionen auf Deinen Beitrag #8 zurück, um am Ende auf eine Gleichung zu kommen, die ich in Beitrag #18 in 4 Zeilen herleite. Alles, was ich danach schreibe, hast Du in Deiner Lösung noch gar nicht behandelt, Du hast Deine Gleichung ja nicht einmal gelöst. Also vergleiche hier mal nicht Äpfel mit Birnen, sondern schreibe Deine vollständige Lösung mal auf, und zwar angefangen bei der Herleitung der zu lösenden Gleichung aus den Urgleichungen (1) bis (4) (und der zusätzlichen für $p_1/p_2$) bis hin zu den finalen Schlussfolgerungen aus #21 und #23, und dann vergleichen wir noch mal die Effizienz bezüglich Schreibaufwand...
Aber das hier ist kein Wettstreit um die schönste Lösung oder um die Gunst des Threadstarters, sondern es geht darum, eine Lösung zu finden, die der Threadstarter versteht, und mit der er danach etwas anfangen kann und die ihm einen "Aha-Effekt" liefert, nicht in mathematischer, sondern in physikalischer Hinsicht, und nicht die bloße Berechnung einer Zahl.

HyperG, zum physikalischen Hintergrund:
(2021-04-20 18:43 - hyperG in Beitrag No. 24
Auch bei M1> 1 stimmen die 3 Proben & die "physikalischen Größen" sind reell und >0. Oder gibt es Einschränkungen bei g (darf
de.wikipedia.org/wiki/Isentropenexponent nicht kleiner 1 sein? Hier ist er z.B. kleiner:
de.wikipedia.org/wiki/Isentrope_Zustands%C3%A4nderung#/media/Datei:Isothermal_and_isentropic_process.svg.png
Vielleicht verdrehst Du Polytropenexponent und Adiabatenexponent (letzterer auch Isentropenexponent). Der erstere ist der allgemeine Exponent der Gleichung $pV^n=\text{konstant}$. Beim isothermen Prozess ist dieser $n=1$, und beim isobaren Prozess ist er sogar $n=0$. Aber diese Werte $\gamma$ (meistens eigentlich $\kappa$) sind die Adiabatenexponenten der beteiligten Gase. Das sind Stoffkonstanten und immer größer als $1$. Das steht doch quasi im Wikipedia-Artikel drin. Und wie Du hier nachlesen kannst, findet beim Verdichtungsstoß auch immer eine Verlangsamung auf Unterschallgeschwindigkeit statt. Das macht ja auch Sinn, denn es ist ein Verdichtungsstoß und kein "Verdünnungsstoß", denn das Gas wird nicht beschleunigt nach dem Aufprall. Je langsamer, desto dichter, wie beim Stau auf der Autobahn. Und das ist die Schlussfolgerung, die ich in den folgenden Beiträgen hergeleitet habe. Die andere Lösung liefert nämlich grundsätzlich immer einen Wert von $M_1\geq1$, oder sogar $M_1^2<0$, also physikalischen Unsinn.
Das ist ja gerade das schwierige hier und oft auch an anderer Stelle in der Physik, dass man nämlich erst einmal die unsinnigen von den sinnvollen Lösungen trennen muss. Deine Bemerkung zeigt, dass Du genau das nicht verstanden hast, denn #23 ist keine bloße Verschönerung, wie Du es nennst, sondern eine wesentliche Gleichung, um zu zeigen, dass für diese Lösung in der Tat $M_1$ den Wert 1 nicht überschreiten kann. Aus der vorigen Darstellung ist das nämlich keineswegs offensichtlich.
Von der Kürze dieser Formel mit insgesamt nur zwei Substitutionen inklusive dieser wesentlichen, physikalischen Schlussfolgerung wart Ihr beide noch meilenweit entfernt. Das ist nicht weiter schlimm, aber wenn Eure riesigen Fed- und Code-Wände, wie ich es oben schon genannt habe, den Blick auf das Wesentliche vernebeln, versuche ich eben, korrigierend einzugreifen.

Ciao,

Thomas




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Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2021-04-21 00:32


2021-04-20 21:44 - MontyPythagoras in Beitrag No. 26 schreibt:
Diese Herleitung müsstest Du, Wario, bei Deiner Herleitung erst einmal dazu rechnen, wodurch sie noch mal einen Tacken länger würde, denn Du fängst erst da an. Alles, was bis dahin gerechnet wurde, war für die Tonne, und in den Fed- und Codewänden drohte die tatsächlich zu lösende Gleichung schon fast unterzugehen.

.... führst 8 (!) neue Variablen ein, ...

Wieso, das stimmt doch nicht. Das $P=\dfrac{p_1}{p_2}$ war zunächst ein "unwichtiger Randwert" und wurde in der 1. "Lösung" mitgetragen. Dann war $P$ plötzlich von der gesuchten Variablen $M_1$ abhängig; was sich allerdings ab der betreffenden Stelle ohne größere Probleme korrigieren lies.

Und, nochmal, ich bemängele hier die Art der Darstellung nicht die inhaltliche Richtigkeit. Die sich ergebende quadr. Gleichung, könnte ich noch lösen, aber das traue ich dem Themenstarter a) selber zu b) werde ich einen Teufel tun und mich da tiefer oder physikalisch reindenken; denn: ab Beitrag 0 ist unklar, was da was ist, die Größen sind nicht benannt, es fehlt eine Gleichung; manche der Informationen sind über mehrere Beiträge verteilt etc.

Wenn ich es doch mache, komme ich zu dem Schluß, dass das ein System diverser Verhältnisgrößen  $\dfrac{p_1}{p_2},~ \dfrac{T_1}{T_2}, \dots$  ist. Das ist also durchaus Absicht bei mir, das mit neuen Variablen umzuschreiben.
Ich führe auch 20 neue Variablen, wenn es sinnvoll ist.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2021-04-21 20:40


Du hast mit großen Aufwand gezeigt, dass man eine quadratische Gleichung durch vielfältige Substitutionen in eine quadratische Gleichung umwandeln kann. Das steht unter dem Strich, man hätte auch nach Beitrag 15 aufhören können. Ich wollte zum Ausdruck bringen, dass sich meine gesamte Lösung zwar über mehrere Beiträge erstreckt, aber in jedem Beitrag auch eine neue Erkenntnis steht.
2021-04-21 00:32 - Wario in Beitrag No. 27 schreibt:
Wenn ich es doch mache, komme ich zu dem Schluß, dass das ein System diverser Verhältnisgrößen  $\dfrac{p_1}{p_2},~ \dfrac{T_1}{T_2}, \dots$  ist. Das ist also durchaus Absicht bei mir, das mit neuen Variablen umzuschreiben.
Das habe ich verstanden, und manchmal ist das sinnvoll. Hier nicht unbedingt, meiner Meinung nach.
2021-04-21 00:32 - Wario in Beitrag No. 27 schreibt:
Ich führe auch 20 neue Variablen, wenn es sinnvoll ist.
Auch das kann sinnvoll sein, z.B. wenn man noch gar keinen Plan hat, wo die Reise hingeht, oder beim Programmieren. Gerade beim Programmieren von numerischen Lösungen ist es sogar sehr sinnvoll, viel zu substituieren, weil der Prozessor dann weniger rechnen muss und das Programm dadurch schneller wird. Wenn es um den Erkenntnisgewinn für den Menschen geht, finde ich es dagegen nicht so sinnvoll, weil man den Baum vor lauter Bäumen nicht mehr sieht.Lass uns darin einig sein, dass wir uneinig sind. Wursti interessiert sich sowieso schon nicht mehr für die Lösung. 🙂

Ciao,

Thomas



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Wursti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03 17:33


Hallo nochmal,

vielen herzlichen Dank nochmal für all eure Beiträge und Mühe!

Ich interessiere mich natürlich für die Lösung! :) Zum einen war ich schon sehr zufrieden und glücklich mit der Lösung und zum anderen hatte ich privat einige Schwierigkeit und konnte mich gar nicht mehr auf diese Problemstellung konzentrieren, tut mir leid. Aber ich habe den Lösungsweg verstanden. Bisschen ärgerlich, dass ich da nicht selber drauf gekommen bin, meine Versuche waren leider nicht ganz so erfolgreich. Aber ich habe auf jeden Fall wieder was gelernt.

Aber vielen Dank nochmal für die ausführliche Hilfe und die sehr kompetenten Ratschläge!




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