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Universität/Hochschule Stückweise definierte Funktion mit Basisfunktion darstellen
kuckuck3
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  Themenstart: 2021-04-17

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Funktionen \( g: [0,L] \rightarrow \mathbb{R} \) welche die Randbedingungen g(0) = g(L) = 0 erfüllen, lassen sich im Intervall [0,L] mit Hilfe der Basisfunktionen \( e_k (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( k \pi \frac{x}{L} \right) , k \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) darstellen. Entwickeln Sie die im Intervall [0,1] definierte Funktion \( f(x) = \begin{cases} x & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 1-x & \frac{1}{2} < x \leq 1 \end{cases} \) mit Hilfe der Basisfunktionen\( \{ e_k (x) | k \in \mathbb{N} \ \{ 0 \} \} \). Ich habe bereits versucht eine Fourierreihe zu berechnen, allerdings stimmt der Plot dann nicht mit der Funktion f überein. Dann habe ich noch versuch eine Fouriertransformation durchzuführen. Allerdings komme ich auch da auf kein brauchbares Ergebnis. Habe ich einen Fehler gemacht oder ist mein Ansatz komplett falsch? Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Viele Grüße, kuckuck3


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-17

Hallo, Fourierreihe ist schon der richtige Ansatz. Du kannst ja mal deine Rechnung dazu posten. Viele Grüße Wally


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rlk
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-17

Hallo kuckuck3, mit den Basisfunktionen kannst Du eine Fourier-Sinus-Reihe bilden, die gegen $g$ konvergiert. Wie sieht Dein Ansatz aus und wie hast Du die Koeffizienten berechnet? Wegen der Bedingung $k\in\IN\setminus\{0\}$, die aus den Randbedingungen $g(0)=g(1)=0$ folgt, ist eine Fouriertransformation hier nicht zielführend. Servus, Roland PS: Der $\LaTeX$-Befehl für $\sin(x)$ ist \sin(x), damit wird die Funktion so dargestellt, wie Donald Knuth das wollte. Das Symbol $\setminus$ für die Mengendifferenz erhältst Du mit \setminus. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Fourierreihen' von rlk]


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kuckuck3
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-18

Danke für die schnellen Antworten. Für die Koeffizienten der Fourierreihe habe ich folgendes berechnet: \( a_k = \frac{1}{\pi} + \frac{2-2\cos(k/2)}{k^2} \) \( b_k = \frac{1}{\pi} + \frac{1-\cos(k/2)}{k} \) Insgesamt also: \( f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} ( a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) ) \) Ich habe das geplottet und denke es kann nicht stimmen. Viele Grüße, kuckuck3


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rlk
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-18

Hallo kuckuck3, Du hast eine Fourierreihe mit der Periode $2\pi$ berechnet, die nicht zu der Funktion passen kann. Du kannst die Funktion $f$ zu einer ungeraden Funktion auf dem Intervall $[-L, L]$ fortsetzen und die Formeln für die klassische Fouriereihe mit der Periode $2L$ verwenden, wenn Du die Formeln für die Koeffizienten der Fourier-Sinus-Reihe nicht kennst. Servus, Roland


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kuckuck3
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19

Ok, danke. Jetzt hab ich die Funktion auf [-L,L] fortgesetzt und die Aufgabe gelöst. Viele Grüße, kuckuck3


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kuckuck3 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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