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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Zeigen, dass eine Menge L ein zu C isomorpher Körper ist
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Universität/Hochschule J Zeigen, dass eine Menge L ein zu C isomorpher Körper ist
Schnubelub
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 60
  Themenstart: 2021-04-19

Hallo, ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabenstellung: L:={(x,-y;y,x)\el\ \IR^(2x2) : x,y\el\ \IR}. Zeige, dass L mit der Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation einen zu \IC isomorphen Körper bildet. Ich wollte fragen, wie man das am geschicktesten zeigen kann? Ich denke das sollte auch gehen, ohne die Körperaxiome abzuarbeiten, oder? Mein uneleganter Ansatz ist folgender: Sei h:= L -> \IC, (x,-y;y,x)->x+iy h ist offensichtlich bijektiv. L\subsetequal\ \IR^2x2 ist ein linearer Unterraum von \IR^2x2 und somit ein Vektorraum. Also ist (L,+,0_(2x2)) eine Gruppe. Da die Matrizenaddition kommutativ ist, auch eine abelsche Gruppe. Man prüft leicht durch eine Rechnung (die lass ich jetzt aus), dass h(A+B)=h(A)+h(B) gilt. Somit ist h Isomorphismus bzgl. +. \forall\ A\el\ L: detA!=0 => L\subsetequal\ GL_2(\IR). Mit Hilfe des Untergruppenkriteriums, sieht man, dass (L\\{0},*,E_2 ) eine Gruppe ist. Die Kommutativität prüft man auch mit einer einfachen Rechnung. Weiters rechnet man auch schnell nach, dass h(A*B)=h(A)*h(B) gilt. Somit ist h Isomorphismus bzgl *. Das Distributivgesetz kann man mit der Hilfe von h relativ leicht zeigen. Somit ist L isomorph zu \IC und somit auch ein Körper. Wie man sieht, hab ich hier schon viel rumgerechnet. Matrizen multipliziert etc. Gibt es da einen eleganteren Ansatz, das zu zeigen? Ist es hinreichend nur das folgende zu zeigen?: \forall\ A,B\el\ L: A+B\el\ L A*B\el\ L h bijektiv h(A+B)=h(A)+h(B) h(A*B)=h(A)*h(B) Danke für eure Antworten! LG


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46406
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19

Hi Schnubelub, diese Aufgabe wurde vor kurzem hier gestellt und diskutiert. Gruß Buri


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