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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Zusammenhang orthogonale Matrix und Skalarprodukt
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Universität/Hochschule Zusammenhang orthogonale Matrix und Skalarprodukt
levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20 09:07


Ich würde gerne folgende Äquivalenz zeigen:
\(S\) sei die Einheitssphäre auf \(\mathbb{R}^{n}\) bezüglich einer Norm \(\|.\|\).
Die Norm \(\|.\|\) wird durch ein Skalarprodukt induziert \(\Leftrightarrow \) es existieren \(a_{1},\ldots,a_{n}\in\mathbb{R}_{> 0}\) und eine orthogonale Matrix R mit \(S=\left\{Rx\in\mathbb{R}^{n};\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}=1,x\in\mathbb{R}^{n}\right\}\).

Meine erste Idee war es \(R\) so zu wählen, dass die Spalten jeweils die Vektoren aus der ONB sind, die ja existiert laut Gram Schmidt. Dann konnte ich aber nicht zeigen, dass \(Rx\) in \(S\) liegt.
Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?



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