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Universität/Hochschule Teilmenge
Jian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20 10:11


Wieviele 2-elementige Teilmengen hat eine 11-eiementige Menge?



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DominikS
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.02.2021
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20 10:12


Hallo,

$\binom{11}{2}$




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nzimme10
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 201
Wohnort: Köln
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-20 10:20


Und das ist
$$ \binom{11}{2}=\frac{11!}{2!\cdot 9!}=55,
$$ falls dir der Binomialkoeffizient nichts sagt. Dazu musst du dir eigentlich nur überlegen wie viele $k$-Tupel du bilden kannst, deren Einträge aus einer $n$-elementigen Menge kommen. Und zwar so, dass kein Eintrag mehr als ein mal vorkommt. Für den ersten Eintrag hat man $n$ Möglichkeiten, für den zweiten hat man dann noch $n-1$ Möglichkeiten und so weiter. Für den $k$-ten Eintrag hat man dann noch $n-k+1$ Möglichkeiten. Nach der Multiplikationsregel der Kombinatorik hat man also insgesamt
$$ n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\dots(n-k+1)
$$ Möglichkeiten für so ein $k$-Tupel. Nun muss man sich noch überlegen wie viele dieser $k$-Tupel bis auf die Reihenfolge die gleichen Einträge haben und unsere Anzahl der Möglichkeiten durch diese Anzahl teilen. Das ist für jedes $k$-Tupel die Frage wie viele Permutationen es von $k$ Elementen gibt. Das ist bekanntlich $k!$. Wir erhalten also für die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge
\[
\begin{align*}
\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} &=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}\cdot \frac{(n-k)!}{(n-k)!} \\
&= \frac{n!}{k!(n-k)!}.
\end{align*}
\]



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