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Mathematik » Didaktik der Mathematik » "Echte" Algebra in der Schule?
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Universität/Hochschule "Echte" Algebra in der Schule?
Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20


Hallo zusammen,

früher (also in den 60er Jahren) hat man in der Schule ja vorübergehend "echte" Algebra unterrichtet. In älteren Büchern, z.B. der neunten Jahrgangsstufe, finden sich dann Definitionen von Gruppen, Ringen und Körpern und es werden ganze Kapitel dazu ausführlich behandelt.

Nach relativ kurzer Zeit wurde es dann aber wieder eingestampft und heute versteht man in der Schule unter dem Begriff Algebra ja eher das Umstellen von Termen oder Lösen von Gleichungen. Ich finde den Ansatz aber gar nicht so verkehrt und frage mich, welche Vorteile es mit sich bringen würde, sich bereits in der Schule mit ein paar algebraischen Grundbegriffen auseinanderzusetzen. Über geometrische Spielereien ist der Zugang zu Diedergruppen oder zyklischen Gruppen schließlich auch nicht allzu schwierig.

Nun zu meiner Frage: Welche Aspekte der Schulmathematik würden dadurch eventuell bereichert? Ganz grundsätzlich kann man wohl sagen, dass die Fähigkeit zum abstrakten Denken dadurch ganz wesentlich trainiert wird und Begriffe wie "Kommutativgesetz" nicht mehr willkürlich im Raum stehen. Ich kann mir auch vorstellen, dass man später bei der Anwendung der Kettenregel weniger Probleme bekommt, wenn man vorher schon verstanden hat (etwa anhand der $D_3$), dass man Abbildungen auch hintereinander schalten kann, usw.
Vielleicht hat jemand hier noch weitere Ideen? Das fände ich sehr interessant.

Liebe Grüße
Bai



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20


Hallo Bai,

könntest du das:

2021-04-20 14:57 - Bai im Themenstart schreibt:
früher (also in den 60er Jahren) hat man in der Schule ja vorübergehend "echte" Algebra unterrichtet. In älteren Büchern, z.B. der neunten Jahrgangsstufe, finden sich dann Definitionen von Gruppen, Ringen und Körpern und es werden ganze Kapitel dazu ausführlich behandelt.

einmal dahingehend konkretisieren, wo genau das der Fall war?

Ich komme aus Baden-Württemberg und kann mir das gerade nicht so ganz vorstellen (zumal in dieser Zeit die Abiturprüfungen hier im Fach Mathematik doch recht leicht waren). Die einzige Ausnahme bei uns hier war die Tatsache, dass eine Zeit lang (Ende der 80er bis ca. Jahrtausendwende? ) im Leistungskurs die Vektorraumaxiome durchgenommen wurden (allerdings ohne dass näher darauf eingegangen wurde, was ein Körper ist).

Ich hatte jedoch Mitte der 80er Jahre von Bekannten aus Ungarn einmal mitbekommen, dass dort in dieser Zeit in der Oberstufe ein wenig Gruppentheorie durchgenommen wurde (und wohl auch Prüfungsinhalt war).

Also kann es sein, dass du hier explizit von der DDR sprichst (wo das Niveau im Schulfach Mathematik bekanntlich hoch war)?

2021-04-20 14:57 - Bai im Themenstart schreibt:
Nun zu meiner Frage: Welche Aspekte der Schulmathematik würden dadurch eventuell bereichert?

Nach meiner bescheidenen Meinung würde das ganze Fach dadurch bereichert. Aber ich glaube, das ist als Meinung nicht so ganz mehrheitsfähig...

Ich würde das auch gar nicht an so praktischen Folgen festmachen, was man damit dann besser kann (ich denke, diese Effekte wären eher überschaubar):  ich hielte das eher im Sinne der Allgemeinbildung für wichtig. Denn der gesamte Struktur-Begriff kommt in der heutigen Schulmathematik doch überhaupt nicht vor.

Das ist leztendlich eine Frage der Paradigmen hinter den geltenden Bildungszielen. Und um so etwas einzuführen bräuchte es m.M. einen fundamentalen Paradigmenwechsel im gesamten Bildungswesen, der mir völlig unrealistisch erscheint.

Sprich: davon kann man träumen, aber es ist völlig unrealistisch, so etwas heutzutage einführen zu wollen.


Gruß, Diophant



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20


Hallo Diophant,

2021-04-20 15:23 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Bai,

könntest du das:

2021-04-20 14:57 - Bai im Themenstart schreibt:
früher (also in den 60er Jahren) hat man in der Schule ja vorübergehend "echte" Algebra unterrichtet. In älteren Büchern, z.B. der neunten Jahrgangsstufe, finden sich dann Definitionen von Gruppen, Ringen und Körpern und es werden ganze Kapitel dazu ausführlich behandelt.

einmal dahingehend konkretisieren, wo genau das der Fall war?

Meines Wissens nach in ganz Westdeutschland. Ich möchte aber nicht ausschließen, dass bestimmte (heutige) Bundesländer nicht beteiligt waren. Ein paar grundlegende Informationen findest du hier. Wenn du magst, kann ich dir auch gerne ein paar Schulbücher nennen, in denen Gruppen, Ringe und Körper behandelt werden.

2021-04-20 15:23 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Ich würde das auch gar nicht an so praktischen Folgen festmachen, was man damit dann besser kann (ich denke, diese Effekte wären eher überschaubar):  ich hielte das eher im Sinne der Allgemeinbildung für wichtig. Denn der gesamte Struktur-Begriff kommt in der heutigen Schulmathematik doch überhaupt nicht vor.

Schade! Ich wäre wirklich an ein paar konkreten Beispielen interessiert.

2021-04-20 15:23 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Sprich: davon kann man träumen, aber es ist völlig unrealistisch, so etwas heutzutage einführen zu wollen.

Ich halte es ebenfalls für völlig unrealistisch. Ich weiß auch nicht, ob ich völlig überzeugt davon bin, dass es eine uneingeschränkte Besserung für den Mathematikunterricht bedeutete. Ein bisschen mehr Logik und Abstraktion anstelle von algorithmischen Rechenaufgaben wäre sicherlich wünschenswert. Aber das ist wieder eine andere Diskussion.



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Algebravo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-20


Ein wirklich interessantes Thema!

Momentan ist das leider wirklich undenkbar. In der letzten „Lehrplanrevolution“ in NRW sind 2015 ja sogar noch (unfassbar wichtige) Dinge rausgeflogen, wie die partielle Integration und die Integration durch Substitution (im LK) oder Koordinatengleichungen (im GK). Auch unterbestimmte LGS werden (wenn überhaupt) nur mit dem GTR betrachtet. Ich denke bevor man träumen kann, dass Elemente der Unimathematik (zumindest im LK) Einzug in die Schule erhalten, sollte sich darum gekümmert werden, dass wenigstens die Schulmathematik wieder vollständig ist. Durch die aktuelle Politik scheint eben selbst am Gymnasium anspruchsvoller Stoff keinen Platz zu finden (das ist vielleicht aber eher ein Thema für einen eigenen Thread.)

Zum Thema: Ich hab in einem Nachhilfeinstitut mal einen Sommerferienkurs zu Diedergruppen konstruiert und durchgeführt und die Schüler*innen waren ganz begeistert, die Symmetrien erstmal zu finden, ihnen Namen zu geben und die Abbildungen dann nacheinander durchzuführen. Da können Schüler*innen eben unglaublich viel selbst entdecken. Ebenso interessant ist es, mit Schüler*innen (jeden Alters) „eigene Additionen“ zu erdenken und in Bezug auf Eigenschaften wie Kommutativität oder Ähnliches zu untersuchen. Algebraische Strukturen sind spannend und ich denke nicht nur für Student*innen der Mathematik. Es spricht also (auch aus motivationalen Gesichtspunkten, wenn man es richtig angeht) in meinen Augen viel dafür.


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Ich würde mich sehr freuen, einige von euch begrüßen zu dürfen: www.algebravo.de ^^ Dort gibt es Videos und Aufgaben, die dabei helfen sollen, Mathematik nicht nur anwenden zu können, sondern auch zu verstehen! :) Über Feedback freue ich mich immer!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-20


Hallo Bai,

die Geschichte rund um NewMath kenne ich ein wenig, die Wikipediaseite ebenfalls.

Mir war bisher bekannt, dass wir dieser Inititiative die zentrale Verankerung des Funktionsbegriffs in der Oberstufe zu verdanken haben sowie die (in den Siebzigern) recht spektakulären Versuche, in der Grundschule Mengenlehre zu implementieren, die ja dann auch relativ rasch wieder beendet wurden.

Ich muss aber dazusagen, dass ich selbst kein Lehrer bin. Ich habe (ebenfalls in Baden-Württemberg) ca. 20 Jahre lang intensiv Mathenachhilfe gegeben, wobei da auch 'Talentförderung' mit inbegriffen war. Sprich, ich hatte eigentlich durchgehend ein, zwei Schüler*innen, die nicht wegen Matheproblemen zu mir kamen, sondern um Dinge zu lernen, die man in der Schule nicht lernt und so u.a. eine sehr gute Abinote abzusichern. Speziell für diese Kundschaft hatte ich während der ganzen Zeit Abi-Aufgaben aus anderen Bundesländern, aber auch aus dem Ausland gesammelt und so einen recht guten Überblick über die unterschiedlichen Anforderungen beim Mathe-Abi bekommen. Von dem, was davor so stattgefunden hat, weiß ich da mit der Ausnahme Baden-Württemberg tatsächlich recht wenig.

2021-04-20 16:30 - Bai in Beitrag No. 2 schreibt:
...Ein bisschen mehr Logik und Abstraktion anstelle von algorithmischen Rechenaufgaben wäre sicherlich wünschenswert. Aber das ist wieder eine andere Diskussion.

Ja, das sehe ich genauso. Aber das hat m.A. schon miteinander zu tun: Der Bildungsbegriff ist im Laufe der letzten Jahrzehnte ja immer pragmatischer geworden (was für sich genommen zunächsteinmal begrüßenswert ist), das hat aber gleichzeitig auch zunehmend eine inhaltliche Oberflächlichkeit mit sich gebracht, die heutzutage allgemein akzeptiert ist und solche Experimente wie "Echte Algebra in der Schule" von vornherein verbietet.

Klar, man kann sagen, das ist hier doch eine didaktische Frage und hat mit gesellschaftspolitischen Entwicklungen nichts zu tun.

Da bist du hier jedoch bei mir sozusagen an den falschen geraten (😉): da besteht in meinen Augen sogar ein fundamentaler Zusammenhang, der aber weitestgehend ignoriert wird.

Deine Frage hat also bei mir jetzt quasi einen Trigger ausgelöst...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20


@Algebravo:
2021-04-20 16:54 - Algebravo in Beitrag No. 3 schreibt:
Zum Thema: Ich hab in einem Nachhilfeinstitut mal einen Sommerferienkurs zu Diedergruppen konstruiert und durchgeführt und die Schüler*innen waren ganz begeistert, die Symmetrien erstmal zu finden, ihnen Namen zu geben und die Abbildungen dann nacheinander durchzuführen. Da können Schüler*innen eben unglaublich viel selbst entdecken. Ebenso interessant ist es, mit Schüler*innen (jeden Alters) „eigene Additionen“ zu erdenken und in Bezug auf Eigenschaften wie Kommutativität oder Ähnliches zu untersuchen. Algebraische Strukturen sind spannend und ich denke nicht nur für Student*innen der Mathematik. Es spricht also (auch aus motivationalen Gesichtspunkten, wenn man es richtig angeht) in meinen Augen viel dafür.

Das klingt spannend. Wie setzte sich denn die Teilnehmerschaft zusammen? Ich kann mir nämlich vorstellen, dass nicht nur für Mathematik begabte Schüler Interesse an sowas hätten, sondern auch diejenigen, die vom monotonen Rechnen gelangweilt sind. Der MU gibt sich ja derzeit nicht gerade viel Mühe, interessant zu sein.
Und gab es irgendwelche Kommentare zu deinem Kurs? Dass man bestimmte Inhalte eventuell gerne näher betrachtet hätte o.Ä?

@Diophant:
2021-04-20 17:01 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Deine Frage hat also bei mir jetzt quasi einen Trigger ausgelöst...
Das war nicht beabsichtigt, tut mir leid! Diskussionen zum "Quo Vadis" des MU gibt es ja auf dem Matheplaneten schon genügend, da bedarf es nicht noch einer weiteren. Aber ich verstehe das nur zu gut - wer sich leidenschaftlich mit Mathematik beschäftigt, wird bei einem Blick auf die gegenwärtige Situation unseres Bildungssystems etwas unglücklich.
Mir geht es hier aber vorrangig um eine konstruktive Diskussion. Ich hatte ja im Themenstart explizit nach didaktischen Ideen gefragt und das Thema auch generell im Didaktik-Forum verortet. Man kann sich ja in seinem Elfenbeintürmchen gerne über alle Eventualitäten den Kopf zerbrechen - und der Gedanke, welchen Vorteil eine solche Mathematik mit sich brächte, ist für mich gerade sehr reizvoll.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-20


Wenn mich meine Erinnerung nicht im Stich lässt, habe ich selbst an einer DDR-Spezialschule keine "echte" Algebra gelernt. Sicher haben wir über verschiedene Gruppen gesprochen (ganze Zahlen, Restklassen, Kongruenzabbildungen), aber nicht über eine Theorie, die diese drei Themen zusammenführt.
Ich kann also nicht wirklich behaupten, dass ich soetwas im heutigen Lehrplan vermisse.
Tatsächlich war mir aber als Schüler schon klar, dass es viel "mehr" Mathematik gibt, als in der Schule behandelt wird:
Viel mehr Elementar-Geometrie, räumliche Geometrie, Geometrie auf der Kugel, nichteuklidische Geometrie, Nichtlineare Gleichungen, Ungleichungen, Zahlentheorie, Diophantische Gleichungen, Funktionalgleichungen, Differenzialgleichungen, Graphentheorie, Optimierung, EDIT: Logik, Mengenlehre ... lauter Themen, die ich in Zusatzangeboten (Arbeitsgemeinschaften, Korrespondenzzirkeln, Mathe-Lagern, Wahlobligatorischem Unterricht) kennengelernt habe. Vielleicht ist das der Grund, dass ich nie gedacht habe: "Dieses Thema, das fehlt eigentlich im Matheunterricht.", weil mir immer klar war: "Soviel Matheunterricht kann man gar nicht in der Schule machen, dass man alle interessanten, schönen oder nützlichen Sachen unterrichten könnte. Schulmathematik ist _immer_ nur eine kleine Auswahl." Im Deutschunterricht ist das irgendwie jedem klar, dass es viel mehr lesenswerte Werke gibt, als man in der Schule behandeln kann. In Mathe gibt es dagegen immer die Vorstellung, man würde/könnte/müsste alles abdecken.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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2021-04-20 17:31 - Bai in Beitrag No. 5 schreibt:

Das klingt spannend. Wie setzte sich denn die Teilnehmerschaft zusammen? Ich kann mir nämlich vorstellen, dass nicht nur für Mathematik begabte Schüler Interesse an sowas hätten, sondern auch diejenigen, die vom monotonen Rechnen gelangweilt sind. Der MU gibt sich ja derzeit nicht gerade viel Mühe, interessant zu sein.
Und gab es irgendwelche Kommentare zu deinem Kurs? Dass man bestimmte Inhalte eventuell gerne näher betrachtet hätte o.Ä?

Der Kurs war ab Klasse 9 geöffnet und ich hatte tatsächlich zwei Neuntklässlerinnen und einen Schüler aus der EF als Teilnehmer*innen akquirieren können. So beliebt war der Kurs jetzt nicht 😄 Es war halt, und das haben die Teilnehmer*innen mir auch kommuniziert, mal etwas erfrischend anderes. Ich habe sowieso das Gefühl dass (elementare) Geometrie vielen Schüler*innen Spaß bereitet. Zeichnen, Symmetrien erforschen, Figuren ausdenken (und dann auch vor allem Herausfinden, wie verschiedenartige Figuren sich, in Bezug auf die Symmetrieabbildungen gleich verhalten, dass z.B. die Größe egal ist und man für verschiedene Figuren die gleichen Diedergruppen hat) hat einfach mal ganz andere kognitive Leistungen in den Schüler*innen ausgelöst, als im klassischen alltäglichen Mathematikunterricht. Wir haben uns in der letzten Stunde sogar noch die Symmetrieabbildungen von Friesen angeschaut. Hatte nen Teppich dabei. Noch nie gesehen, dass Schüler*innen wegen eines Teppichs begeistert waren und kniend Symmetrien gesucht haben 😎

So wie es im Moment aussieht wird sowas aber erstmal „Projektarbeit“ bleiben, kann da aber einfach für echt schöne Abwechslungen sorgen.



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helmetzer
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In Bayern, 1961-1970, gab es so etwas nicht!



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