Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Vollständigkeit bzgl. einer Metrik und induzierte Metrik
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Vollständigkeit bzgl. einer Metrik und induzierte Metrik
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20 15:00


fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3206
Wohnort: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20 15:32


Hallo,

ich beginne mal mit der II)
Zeige, dass eine Cauchyfolge $(x_n)_n$ bezüglich $d$ auch eine Cauchyfolge bezüglich $|\cdot|$ ist. Da $(\mathbb R, |\cdot|)$ vollständig ist, konvergiert $(x_n)_n$ bezüglich $|\cdot|$ gegen ein $x$. Da beide Metriken laut I) aber die gleiche Topologie induzieren, konvergiert $(x_n)_n$ auch bezüglich $d$ gegen $x$.

Diese Argumentation funktioniert nur in die eine Richtung, denn es ist nicht jede Cauchyfolge $(x_n)_n$ bezüglich $|\cdot|$ auch eine Cauchyfolge bezüglich $d$, z.B. $(1/n)_n$.

Zu I) Beschränke dich vielleicht erst einmal auf offne Kugeln bezüglich beider Metriken.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 15:41


Hallo,

vielen Dank für deine Antwort.
Zu II)
Ich betrachte als Raum aber ja nur die echt positiven reellen Zahlen. Dementsprechend wäre der Raum bezüglich der Standardmetrik ja nicht vollständig.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3206
Wohnort: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-20 17:05


Da hast du recht. An der Stelle funktioniert das Argument nicht. Sei $(x_n)_n$ eine Cauchyfolge bzgl. $d$. Dann konvergiert $(x_n)_n$ bzgl. $|\cdot|$ gegen ein $x\in \mathbb R$. Wieso kann $x=0$ nicht gelten?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 18:47


Wenn wir eine Cauchyfolge haben die bzgl. d konvergiert kann nicht sein, dass die einzelnen Folgenglieder gegen Null konvergieren, weil der Teil der Metrik abs(1/x -1/y) nicht gegen null konvergieren würden. Aber das ist ja nun nicht richtig mathematisch, ist es möglich sich daraus nun einen Widerspruchsbeweis zu überlegen? Demnach wäre also der Raum vollständig. Oder bin ich nun total auf dem falschen Weg?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]