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Analysis » Topologie » Lipschitz-Stetigkeit und Kompaktheit
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Universität/Hochschule J Lipschitz-Stetigkeit und Kompaktheit
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-21


Guten Abend zusammen!

Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Seien $(X, \|\cdot\|_X)$ und $(Y, \|\cdot\|_Y)$ zwei normierte Räume, und sei $M \subset X$ eine nicht-leere Teilmenge. Eine Abbildung $f: M \to Y$ heißt lokal dehnungsbeschränkung, falls zu jedem Punkt $x \in M$ eine Umgebung $U_x$ existiert, sodass die Einschränkung $f_{|M \cap U_x}$ dehnungsbeschränkt ist.

Behauptung: Ist $M$ kompakt und $f$ lokal dehnungsbeschränkt, so ist $f$ schon dehnungsbeschränkt.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Nun denn: zu zeigen ist, dass es ein $L > 0$ gibt, sodass für alle $x,y \in M$ gilt: $\|f(x) - f(y)\|_Y \le L \|x-y\|_X$.

Seien dazu $x,y \in M$ beliebig. Da $f$ lokal dehnungsbeschränkt ist, gibt es Umgebungen $U_x, \; U_y \subseteq X$ von $x$ bzw. $y$, sodass $f_{|M \cap U_x}$ sowie $f_{|M \cap U_y}$ dehnungsbeschränkt ist. Dann existiert also ein $L' > 0$ bzw. $L'' > 0$, sodass gilt:

$\forall \; v,w \in M \cap U_x \; :\|f(v) - f(w)\|_Y \le L' \|v-w\|_X$ und
$\forall \; v',w' \in M \cap U_y \; :\|f(v') - f(w')\|_Y \le L'' \|v'-w'\|_X$

Wie könnte man nun weitermachen? Es muss ja noch die Voraussetzung der Kompaktheit miteinfließen, dass also jede offene Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wie konstruiert man aus den Voraussetzungen eine Überdeckung?


Wie immer bin ich euch sehr dankbar für jede Unterstützung!

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21


Du findest ja endlich viele offene Mengen, die bereits $M$ überdecken. Jetzt könntest du für jede dieser Umgebungen zumindest mal aussagen, dass $f$ auf diesen Umgebungen lipschitz ist. Hilft dir das?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21


Hey nzimme10, vielen Dank dir für deinen Tipp!

Da $M$ kompakt ist, gibt es zu jeder Überdeckung $F$ von M eine endliche Teilüberdeckung $F_0$, etwa $F_0 = (Q_1, ..., Q_r)$.

Das bedeutet, dass $x$ und $y$ in mindestens einem $Q_i$, $1 \le i \le r$, liegen.

Wie kann man nun aber zeigen, dass f auf diesen Umgebungen Lipschitz-stetig ist? Wir wissen ja nur, dass es zu jedem Punkt $x$ Umgebungen $U_x$ gibt, sodass f auf $M \cap U_x$ Lipschitz-stetig ist, aber diese Umgebungen können ja auch kleiner sein als ein $Q_i$?


Viele Grüße,
X3nion


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-21


Hallo nzimme10,

guck mal hier

Viele Grüße

Wally



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-21


Danke Wally.

Du kannst dir auch überlegen, dass du für jedes $r>0$ bereits endlich viele $x_1,\dots,x_n\in M$ findest mit
$$ M\subseteq\bigcup_{i=1}^n B_r(x_i).
$$ Das folgt aus der Kompaktheit. Dann weißt du, dass $f$ auf diesen Kugeln jeweils lipschitz ist. Aber ob das was an Wallys Anmerkung ändert muss ich mir erst überlegen.

Edit: Damit sollte man es zeigen können.

LG Nico



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21


Hallo Wally und nico,
vielen Dank für deinen Verweis, Wally, und für deine Tipps, Nico.

@Wally: Für den Widerspruchsbeweis benötigt man aber, dass $f$ auf ganz X stetig ist. Wie könnte man das aus der lokalen Lipschitz-Stetigkeit zeigen?
Also klar ist mir, dass die Funktion dann auch lokal stetig ist.
Aber wieso folgt dann, dass $f$ auf der Vereinigung der vielen kleinen lokalen Umgebungen stetig ist?

@Nico: Wieso wissen wir denn, dass $f$ auf allen Bällen Lipschitz-stetig ist? Wir wissen ja nur um die Lipschitz-Stetigkeit auf den evtl. sehr kleinen Umgebungen jedes einzelnen Punktes $x \in X$?


Viele Grüße,
X3nion


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-21


Edit 2: Ich denke so sollte es kein Problem sein: Es sei $x\in M$ und $U_x$ eine o.B.d.A. offene Umgebung von $x$ auf der $f$ lipschitz ist. Damit ist $(U_x)_{x\in M}$ eine offene Überdeckung von $M$ und da $M$ kompakt ist findet man bereits endlich viele $x_1,\dots,x_n\in M$ mit
$$ M\subseteq \bigcup_{i=1}^n U_{x_i}.
$$ Auf diesen offenen Umgebungen ist $f$ nach Konstruktion jeweils lipschitz. Seien nun $x,y\in M$. Man kann die $U_x$ auch so wählen, dass sie offene Bälle sind. Außerdem kann man eine offene Überdeckung von Kugeln $V_x$ mit halbem Radius finden. Seien nun $x,y\in M$. Falls $x,y\in U_z$ für ein $z\in M$ so können wir eine Lipschitz-Konstante finden. Ansonsten wähle $z$ derart, dass $x\in V_z$. Nach Konstruktion/Annahme ist dann $y\notin U_z$ und wir haben $\lVert x-y\rVert\geq r$, wobei $r$ der Radius von $V_z$ ist. Also können wir auch hier eine Lipschitz Konstante finden.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21


Hey Nico,

ja stimmt, so geht es! Du meinst zwar $M \subseteq \bigcup \limits_{i=1}^{n} U_{x_i}$, aber ja, so ergibt das Sinn!

Daraus folgt ja zunächst einmal, dass $f$ auf ganz $X$ stetig ist, oder?

Dann wäre die Frage, wie man weitermacht. Entweder vermöge des eleganten Widerspruchsbeweises von Wally im verlinkten Beitrag, oder würde es auch anders gehen? Man müsste in einem direkten Beweis ja eine "Universalkonstante" L angeben.


Viele Grüße,
X3nion


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-21


Habe meinen Beitrag nochmal editiert! :)

LG Nico



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21


Hallo Nico,

hmm ich verstehe nicht so ganz, wieso man im zweiten Fall auch eine Lipschitz-Konstante angeben kann?
Es muss ja gelten $\|f(x) - f(y)\| \le L \cdot \|x-y\|$.
Könntest du das vielleicht noch etwas näher erläutern?

Und wäre meine Folgerung denn richtig, dass aus der Lipschitz-Stetigkeit in jedem der endlichen Bälle $B_{i}(x_i)$ folgen würde, dass $f$ auf ganz X zumindest normal stetig ist?


Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-04-21


Sei $a$ die Anzahl der $V_z$ in der endlichen Teilüberdeckung, $L$ die größte Lipschitz-Konstante auf den endlich vielen $U_z$, $D$ der größte Durchmesser der $U_z$ und $r$ der kleinste Radius der $V_z$. Dann gilt
$$ \lVert f(x)-f(y)\rVert \leq a\cdot D\cdot L
$$ und $\lVert x-y\rVert\geq r$. Wenn es also kein $z\in M$ mit $x,y\in U_z$ gibt, so folgt
$$ \lVert f(x)-f(y)\rVert \leq \frac{a\cdot D\cdot L}{r}\lVert x-y\rVert.
$$ Dieses Argument funktioniert wenn $M$ wegzusammenhängend ist. Wenn $M$ nicht wegzusammenhängend ist, dann muss man das nochmal ein bisschen umändern.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21


Hi Nico,

hmm ich verstehe leider nicht, warum $\|f(x) - f(y)\| \le a \cdot D \cdot L$ ist und für welche Punkte $x,y$ das gilt.

Was für mich ersichtlich ist, ist der Punkt, dass $\|f(x) - f(y)|\ \le L(z)$ ist für den Fall, dass $x,y \in U_z$ für ein $z \in M$ sind?
Aber was ist im allgemeinen Fall, dass $x,y \in M$ beliebig sind? Oder gilt in der Ungleichung, dass es kein $z \in M$ gibt mit $x,y \in U_z$?

Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-04-21


Sorry ich war etwas schlampig. Das ist alles auf den Fall bezogen, dass es keine gemeinsame Umgebung von $x$ und $y$ gibt.

LG Nico



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21


Hi nochmals,

ich kann es mir logisch vorstellen, wie du es meinst mit den Konstanten a und D. Allerdings verstehe ich nicht, wieso die Ungleichung
$\|f(x) - f(y)\| \le a \cdot D \cdot L$ gelten darf, ohne, dass dabei $\|x-y\|$ vorkommt? Lipschitz-Stetigkeit auf den Umgebungen $U_z$ setzt das ja voraus, dass $\|f(x) - f(y)\| \le L_z \cdot \|x-y\|$ ?

Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-04-21


Überleg dir mal wie du hier generell $\lVert x-y\rVert$ abschätzen kannst auf den einzelnen Zusammenhangskomponenten.

LG Nico



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Ahh ich glaube ich habe es!
Es gilt ja jeweils $\|x-y\| \le D$.

Wie meintest du es jetzt aber, dass man umgehen müsste, sollte die Menge M nicht zusammenhängend sein. Hast du mir da einen Tipp, was man da umändern müsste? Laut Definition einer nicht-zusammenhängenden Menge müsste man ja offene Mengen $Q_1$ und $Q_2$ in $(X, \|\|)$ finden können mit
$M \subseteq Q_1 \cup Q_2$ und $Q_1 \cap Q_2 = \emptyset$ und $Q_1 \cap M \neq \emptyset$ und $Q_2 \cap M \neq \emptyset$.
Da wüsste ich aber nicht, wie man weitermachen müsste.

Viele Grüße,
X3nion


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2021-04-22


Wenn das $M$ nicht wegzusammenhängend ist, dann wähle als $r$ das Minimum von dem bisher wie oben definiertem $r$ und dem kleinsten Abstand der endlich vielen Zusammenhangskomponenten von $M$.

LG Nico



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Auch für wegzusammenhängende Mengen ist das leider nicht so einfach.

\( M=\{(\cos t, \sin t)\mid \varepsilon\le t\le 2\pi\}\), \( \varepsilon \) klein.

\( f:M\to \IR, f\big((\cos t, \sin t)\big)=t\).

Dann ist \( f\) lokal lipschitzstetig mit Konstante \( 1\), aber global ist die Konstante größer als  \(\D \frac{2\pi}{\varepsilon} \).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2021-04-22


Hallo Wally,

Ich sehe an meiner Begründung keinen Fehler.

LG Nico



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2021-04-22


Hallo Nico,

deine Argumentation in Beitrag 10 und 6 sieht richtig aus, aber was hat das mit Wegzusammenhang zu tun?

Viele Grüße

Wally



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2021-04-22


Hallo Wally,

Man muss in der Lage sein einen Weg zwischen $x$ und $y$ zu finden um das so nach oben abzuschätzen. Also genauer muss man eine Folge $(z_i)_{i\in \mathbb N}$ finden können um damit einen Weg zwischen $x$ und $y$ bilden zu können.

LG Nico



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2021-04-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Aber wie mein Beispiel zeigt, kann doch ein Weg zwischen \( x\) und \( y\) beliebig viel länger sein als der Abstand von \( x\) und \( y\). Wozu dann der Weg?

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Ich sollte an dieser Stelle eventuell erwähnen, dass mit Weg eine Folge von Punkte $(z_j)$ gemeint ist mit $U_{z_j}\cap U_{z_{j+1}}\neq \emptyset$.

LG Nico



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Wally
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Auch das brauchst du nur in Form einer Überdeckung.

Ich hate gedacht, du willst einen Beweis so wie marvinius hier hier angeben.

Aber dann muss man mindestens auf die Beschränktheit von \( f(M)\) hinweisen.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Hallo zusammen,

vielen Dank für euren Input!
Wegzusammenhängende Mengen stellen für mich noch ein Novum dar, da muss ich mich noch ein wenig drin einarbeiten :)

Viele Grüße,
X3nion


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