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Universität/Hochschule J Polynomring, Matrizenraum
szv07
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-23 12:11


Könnte mir jemand vielleicht einen Hinweis zu dieser Aufgabe geben?

Sei K ein Körper, sei n eine natürliche Zahl und sei A ∈ Mn(K). Zeigen Sie, dass es ein Polynom p ∈ K[X] \ {0} mit p(A) = 0 gibt.

Vielen Dank im Voraus!



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DominikS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-23 12:16


Hallo,

schlage mal den Satz von Cayley-Hamilton nach.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-23 12:17


Der Satz von Cayley-Hamilton ist viel stärker, und die Behauptung hier lässt sich viel einfacher beweisen. Nutze einfach, dass $\{A^k : k \in \IN\}$ nicht linear unabhängig sein kann, weil ja $M_n(K)$ endlich-dimensional ist.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-23 12:19


Hallo,

es geht auch ohne den Satz von Cayley-Hamilton. Betrache die Matrizen $A^k$ mit $0\leq k\leq n^2$. Warum sind sie nicht linear unabhängig?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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DominikS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-23 12:24


@Triceratops/ochen: Danke. Das ist natürlich viel schöner.



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szv07
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-23 12:33


2021-04-23 12:19 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,

es geht auch ohne den Satz von Cayley-Hamilton. Betrache die Matrizen $A^k$ mit $0\leq k\leq n^2$. Warum sind sie nicht linear unabhängig?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

weil die Dimension des Matrizenraums gleich n^2 ist?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-23 13:01


@szv07: Ja, genau.



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