Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Zufallsvariablen und gemeinsame Dichte
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Zufallsvariablen und gemeinsame Dichte
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-25


Hallo allerseits,
Folgendes Experiment wird durchgeführt:
Durch Zufall wird eine Zahl zwischen 0 und 1 gewählt ("geworfen").
Dann wird nochmals zufälligereweise eine Zahl zwischen 0 und 1 gewählt ("geworfen").
Wobei die Zufälle beim 1. Wurf und beim 2. Wurf verschieden sein sollen.
Konkret:
Beim 1. Wurf gleichverteilt, beim 2.Wurf nicht gleichverteilt.


Ich formalisiere dies wie folgt:
$\Omega=[0,1] \times [0,1]$
$\Sigma$ = Borelsche Mengen auf $\Omega$
P(T)="Flächeninhalt" auf T
(genauer: Lebesguemaß der Borelschen Menge T)
Die Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ mit:
$X_1(x,y) = x$
$X_2(x,y) = y$

Dann gilt:
$P(X_1 \leq a)= P(\{(w1,w2)\in \Omega \, \vert \, X_1(w1,w2) \leq a \}$= $P(\{(w1,w2)\in \Omega \, \vert \,  w1 \leq a \}=a$
Also Teilziel Gleichverteilung erreicht.

$P(X_2 \leq a)= P(\{(w1,w2)\in \Omega \, \vert \, X_2(w1,w2) \leq a \}$= $P(\{(w1,w2)\in \Omega \, \vert \,  w2 \leq a \}=a$
Also Teilziel Nichtgleichverteilung wurde nicht erreicht.

Durch P wurden also schon die Verteilungsfunktionen von $X_1$ und $X_2$ festgelegt.

Wie kann man aber das obige Experiment mit den verschiedenen Verteilungsfunktionen modellieren ?

Oder habe ich einen Denkfehler gemacht?

mfg
cx




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-27


Huhu Carlox,

ohne jetzt auf einen anderen Thread zu verweisen...

Was Du doch möchtest, ist eine Verteilung auf $[0,1]^2$, deren Randverteilungen gewisse Eigenschaften hat.

Sei dazu ($\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \mathbb{P})$ ein nahezu beliebiger* W'Raum.

Betrachte dann die Zufallsvariablen $Z_i : \Omega \rightarrow [0,1]$ mit $i\in \{ 1,2 \}$, $P_1 = \mathbb{P} \circ Z_1^{-1} = \lambda$** und $P_2 = \mathbb{P} \circ Z_2^{-1} \neq \lambda$***. Dann besitzt $P = \mathbb{P} \circ Z^{-1}$ mit $Z=(Z_1, Z_2)^T$ die gewünschten Eigenschaften.

lg, AK

*) $\Omega$ sei polnisch, um garantiert einen Borel-Isomorphismus zu besitzen.
**) $\lambda$ ist das (eindimensionale) Lebesgue-Mass.
***) die Ungleichheit ist so zu interpretieren, dass es eine Borel-Menge $B\subset [0,1]$ gibt, für die $P_2(B) \neq \lambda(B)$ gilt



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-27


Hallo AnnaKath,
vielenm Dank für deine Antwort,
(2021-04-27 08:05 - AnnaKath in <a Was Du doch möchtest, ist eine Verteilung auf $[0,1]^2$, deren Randverteilungen gewisse Eigenschaften hat.

Sei dazu ($\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \mathbb{P})$ ein nahezu beliebiger* W'Raum.

Betrachte dann die Zufallsvariablen $Z_i : \Omega \rightarrow [0,1]$ mit $i\in \{ 1,2 \}$, $P_1 = \mathbb{P} \circ Z_1^{-1} = \lambda$** und $P_2 = \mathbb{P} \circ Z_2^{-1} \neq \lambda$***. Dann besitzt $P = \mathbb{P} \circ Z^{-1}$ mit $Z=(Z_1, Z_2)^T$ die gewünschten Eigenschaften.

Mir ist Folgendes noch nicht klar:
1)
Welche Sigma-Algebra ist $\mathcal{B}(\Omega)$ ?

2)
Was bedeutet $Z=(Z_1, Z_2)^T$ ?
Wo kommt das T her ?

mfg
cx



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-27


Huhu Carlox,

Im Grunde kannst Du irgendeine $\sigma$-Algebra wählen; damit aber alles technisch passt (und entsprechende Zufallsvariablen existieren usf.) habe ich $\Omega$ als irgendeinen polnischen Raum angenommen und mit der Borel'schen $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\Omega)$ versehen.

Das $T$ steht für Transposition. Üblicherweise schreibt man Elemente $x \in \mathbb{R}^2$ ja als Spaltenvektoren. Ich war nur zu faul zu formatieren. Also
$$Z = \begin{pmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{pmatrix} $$
Um es noch einmal klar zu sagen: Zwar hast Du nun mit $([0,1]^2, \mathcal{B}([0,1]^2), P)$ einen W-Raum mit den gewünschten Eigenschaften; aber Du wirst diesen Raum niemals benötigen. Das Modell ist die Zufallsvariable $Z$ und mehr brauchst Du für nichts, was mit diesem Experiment zusammenhängt.

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28


Hallo AnnaKath,
Vielen Dankf für deine Mühe, mir das zu erklären.
2021-04-27 08:05 - AnnaKath in Beitrag No. 1 schreibt:
Was Du doch möchtest, ist eine Verteilung auf $[0,1]^2$, deren Randverteilungen gewisse Eigenschaften hat.
Ja, aber irgendwo habe ich noch eine Blockade...
Deswegen versuche ich ein konkretes Beispiel zu geben:
(E1) $X_1$ ist gleichverteilt auf [0,1]
(E2) $X_2$ hat die Dichte $f_2$ mit f(x)=-6x²+6 auf [0,1]
Jetzt suche ich eine Verteilung auf $[0,1]^2$ mit
den Eigenschaften (E1) und (E2).
Wie kann ich die konkret berechnen (ohne eine Unabhängigkeit von $X_1$ und $X_2$ voneinander auszunutzen).
Und ist diese überhaupt eindeutig?

Sei dazu ($\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \mathbb{P})$ ein nahezu beliebiger* W'Raum.
Ist diese gesuchte Verteilung nicht schon durch P festgelegt?
(Denn P definiert ja die Verteilungsfunktion F auf dem WK-Raum)

mfg
cx




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2265
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-28


2021-04-28 09:31 - carlox in Beitrag No. 4 schreibt:
(E2) $X_2$ hat die Dichte $f_2$ mit f(x)=-6x²+6 auf [0,1]

$x\mapsto-6x^2+6$ ist keine Dichte auf $[0,1]$. $x\mapsto-\frac32x^2+\frac32$ wäre eine.

2021-04-28 09:31 - carlox in Beitrag No. 4 schreibt:
Ist diese gesuchte Verteilung nicht schon durch P festgelegt?

Die Verteilungen der $X_i$ sind festgelegt durch (1) das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $\Omega$ und (2) durch die Abbildungen $X_i\colon\Omega\to\mathbb R$.

Man kann sich daher in einem gewissen Umfang aussuchen, an welchen dieser beiden Stellschrauben man dreht: Du kannst beispielsweise für $P$ das Lebesgue-Maß auf $[0,1]^2$ nehmen und dann $X_2$ so wählen, dass sich die gewünschte Verteilung ergibt, oder du kannst gleich auf $[0,1]^2$ ein Produktmaß $P=\lambda\otimes\mu$ aus dem Lebesgue-Maß $\lambda$ und einem Maß $\mu$ mit ${\mathrm d\mu\over\mathrm d\lambda}=f_2$ und dann für $X_2$ die Projektion auf die zweite Koordinate nehmen.

Wichtig ist, dass es auf diese "Konstruktionsdetails" überhaupt nicht ankommt. Tatsächlich arbeiten wirst du weder mit den Abbildungen $X_i\colon\Omega\to\mathbb R$ bzw. $X=(X_1,X_2)^T\colon\Omega\to\mathbb R^2$ noch mit dem Maß $P$, sondern ausschließlich mit dem Bildmaß $P\circ X^{-1}$.

2021-04-28 09:31 - carlox in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie kann ich die konkret berechnen (ohne eine Unabhängigkeit von $X_1$ und $X_2$ voneinander auszunutzen).

Was genau meinst du damit? Solange du keine Annahmen über die Art der Abhängigkeit der $X_i$ machen willst, kannst du das Bildmaß $P\circ X^{-1}$ nicht konkret angeben. Du musst also entweder sagen, dass die $X_i$ unabhängig sind, oder du musst sagen, wie ihre Abhängigkeit aussieht, indem du z.B. die gewünschte Dichte von $P\circ X^{-1}$ hinschreibst.

--zippy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28


2021-04-28 10:23 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:
$x\mapsto-6x^2+6$ ist keine Dichte auf $[0,1]$. $x\mapsto-\frac32x^2+\frac32$ wäre eine.
ich habe das x vergessen: $x\mapsto-6x^2+6x$

Ich stehe immer noch auf dem Schlauch.
Deshalb versuche ich mal das Problem intuitiv zu beschreiben.
Ein Gesamtexperiment (Zufallsvariable X) besteht aus 2 Teilexperimenten:
T1:
Man schießt (Zufallsvariable $X_1$) mit einem Pfeil zufällig auf $[0,1]$.
Wenn man das hinreichend oft macht stellt man fest, daß dies
mit der Dichte $f_1(x) = \frac32x^2+\frac32$ geschieht.
T2:
Dann schießt (Zufallsvariable $X_2$) man mit einem anderen Pfeil auch zufällig auf $[0,1]$.
Wenn man das hinreichend oft macht stellt man fest, daß dies
mit der Dichte $f_2(x) = -6x^2+6x$ geschieht.

Frage:
Wie groß ist das zu X gehörende WK-Maß P?
(Das benötige ich, um z.B. $E(X_1+X_2)$ zu berechnen


mfg
cx



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-28


Huhu Carlox,

betrachte die Verteilungsfunktionen $F_i = F_{X_i}$ Deiner beiden Zufallsvariablen.
Nach dem Satz von Sklar existiert eine so genannte Copula $C$, d.i. eine Verteilungsfunktion $C:[0,1]^2\rightarrow [0,1]$, sodass die Randverteilungen gleichverteilt sind, mit:
$$F(x_1, x_2) = C(F_1(x_1), F_2(x_2)),$$ wobei $F$ die Verteilungsfunktion der gemeinsamen Verteilungen, also der Verteilung von $X=(X_1, X_2)^T$ ist.
Man kann diese (dann eindeutige) Copula auch ausrechnen, wenn man $F$ ebenfalls festgelegt hat.

Um aber etwa $\mathbb{E}[X_1 + X_2]$ zu berechnen, brauchst Du diese explizite Modellierung keineswegs!

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28


Hallo AnnaKath,
jetzt wird es immer komplizierer...und ich will ja nur ein paar einfache Beispiele mit 2 ZVen rechnen können...

2021-04-28 21:09 - AnnaKath in Beitrag No. 7 schreibt:
Huhu Carlox,

betrachte die Verteilungsfunktionen $F_i = F_{X_i}$ Deiner beiden Zufallsvariablen.
Nach dem Satz von Sklar existiert eine (hier sogar eindeutige) so genannte Copula $C$, d.i. eine Verteilungsfunktion $C:[0,1]^2\rightarrow [0,1]$, sodass die Randverteilungen gleichverteilt sind, mit:
$$F(x_1, x_2) = C(F_1(x_1), F_2(x_2)),$$ wobei $F$ die Verteilungsfunktion der gemeinsamen Verteilungen, also der Verteilung von $X=(X_1, X_2)^T$ ist. Man kann diese Copula auch ausrechnen...
und wie ?
Gibt es dazu ein Verfahren ?


Um aber etwa $\mathbb{E}[X_1 + X_2]$ zu berechnen, brauchst Du diese explizite Modellierung keineswegs!
Ja, aber man kann statt des Terms $X_1+X_2$ einen beliebig komplizierteren anderen Term wählen, wie z.B:
E(X1*X2+sin(X1+X2)/tan(X_1-X_2))


Ich will mich ja nur mit einfachen Beispielen beschäftigen,
wie z.B. in meinen letzten Posting.
D.h. die "einfache" Frage klären:
Wie groß ist das zu X gehörende WK-Maß P?
(Das will ich haben, um z.B. E(X1+X2) explizit berechnen zu können,
obwohl es andere Möglichkeiten gibt ... aber ein Anfänger sollte es einmal gerechnet haben)
Der Satz von Sklar hilft mir hier nicht weiter, da er ein reiner Existenzsatz ist.

Andererseits:
Was wird bei den einfachen, praktischen Beispielen (in Büchern oder Skripten) mit z.B. 2 Zufallsvariablen vorausgesetzt (bzw. wie werden diese  Beispiele konstruiert), daß man z.B. das WK-Maß P berechnen kann, um z.B.
$E(X1*X2+sin(X_1+X_2))$ oder einen ähnlich gearteten Term zu berechnen?
d.h. wie werden da die Verteilungsfunktionen $F_1$ (von $X_1$), $F_2$ (von $X_2$), F (von $(X_1,X_2)$ gewählt, damit die Beispiele einfach zu berechnen sind?

mfg
cx




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2265
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-29


2021-04-28 21:58 - carlox in Beitrag No. 8 schreibt:
d.h. wie werden da die Verteilungsfunktionen $F_1$ (von $X_1$), $F_2$ (von $X_2$), F (von $(X_1,X_2)$ gewählt, damit die Beispiele einfach zu berechnen sind?

Das sind drei Dinge, die du vorgeben musst.

Für $F_1$ und $F_2$ hast du das schon getan, indem du die entsprechenden Dichten hingeschrieben hast.

Was jetzt noch fehlt, damit auch $F$ festgelegt ist, sind die Abhängigkeiten zwischen $X_1$ und $X_2$.
* Im einfachsten Fall kannst du vorgeben, dass $X_1$ und $X_2$ unabhängig sind.
* Wenn du das nicht willst, musst du die Abhängigkeiten spezifizieren. Und genau dazu dient die Copula.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-29


2021-04-29 01:09 - zippy in Beitrag No. 9 schreibt:
Das sind drei Dinge, die du vorgeben musst.

Für $F_1$ und $F_2$ hast du das schon getan, indem du die entsprechenden Dichten hingeschrieben hast.

Was jetzt noch fehlt, damit auch $F$ festgelegt ist, sind die Abhängigkeiten zwischen $X_1$ und $X_2$.
* Im einfachsten Fall kannst du vorgeben, dass $X_1$ und $X_2$ unabhängig sind.
* Wenn du das nicht willst, musst du die Abhängigkeiten spezifizieren. Und genau dazu dient die Copula.


Danke für die Hilfe.
Ich versuche das an einem konkreten Beispiel umzusetzen:

gegeben:
$\Omega=[0,1] \times [0,1]$
$\Sigma$ = die $\sigma$-Algebra der Borelschen Mengen auf $\Omega$
P sei ein WK-Maß auf $\Sigma$, das ich hier später noch explizit angeben (bestimmen) werde (z.B. könnte das das Lebesguemaß sein)

Die Zufallsvariablen $X_1$, $X_2$ und  $X=(X_1,X_2)$ werden wie folgt definiert:
$X_1(x,y) := x, \, f_1(x) := \frac32x^2+\frac32$, also $F_1(x)=\frac12x^3+\frac32x$ eindeutig festgelegt
$X_2(x,y) := y, \, f_2(x) := -6x^2+6x$, also $F_2(x)=-2x^3+3x^2$ eindeutig festgelegt

Fall1: $X_1$ und $X_2$ sind unabhängig
also folgt für die Verteilungsfunktion F von $X=(X_1,X_2)$:
$F(a,b)=F_1(a) \cdot F_2(B)$

Fall2: $X_1$ und $X_2$ sind nicht unabhängig
Wie ist dann die Verteilungsfunktion F ?
Kann man diese dann beliebig festlegen?
Ich glaube nicht, denn angenommen man definiert: $F(a,b):=a \cdot b$
Dann gilt einerseits:
$F_1(a)=P(X_1 \leq a \land X_2 \leq 1)=a \cdot 1 = a$
und andererseits:
$F_1(a)=\frac12a^3+\frac32a$ Widerspruch!


Wenn du das nicht willst, musst du die Abhängigkeiten spezifizieren. Und genau dazu dient die Copula.
Was heißt das konkret für meinen Fall2?
Wie könnte man da jetzt weitermachen ?
Wie könnteman konkret die "Abhängigkeiten spezifizieren"

mfg
cx








Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2265
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-29


2021-04-29 22:26 - carlox in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn du das nicht willst, musst du die Abhängigkeiten spezifizieren. Und genau dazu dient die Copula.
Was heißt das konkret für meinen Fall2?

Du suchst dir irgendeine Copula $C$ aus und setzt damit $F(a,b):=C\bigl(F_1(a),F_2(b)\bigr)$.

Die Copula $C(a,b)=ab$ bringt dich wieder zum Fall 1 der unabhängigen Zufallsvariablen, alle anderen modellieren verschiedene Arten der Abhängigkeit.

Listen von Copulas findest du an vielen Stellen, auch im Wikipedia-Artikel zum Thema.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02


2021-04-29 22:53 - zippy in Beitrag No. 11 schreibt:
2021-04-29 22:26 - carlox in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn du das nicht willst, musst du die Abhängigkeiten spezifizieren. Und genau dazu dient die Copula.
Was heißt das konkret für meinen Fall2?

Du suchst dir irgendeine Copula $C$ aus und setzt damit $F(a,b):=C\bigl(F_1(a),F_2(b)\bigr)$.

Die Copula $C(a,b)=ab$ bringt dich wieder zum Fall 1 der unabhängigen Zufallsvariablen, alle anderen modellieren verschiedene Arten der Abhängigkeit.

Listen von Copulas findest du an vielen Stellen, auch im Wikipedia-Artikel zum Thema.

Danke für den Tipp,
1)
in der Tabelle deines angegebene Links steht z.B.:
$c(u,v) = \frac{1}{\sqrt{1-p^2}} \cdot e^{-\frac{(a^2+b^2)p^2-2abp}{2(1-p^2}}$
wobei c(u,v) die Dichte von C(u,v) ist.
Wählt man p=0, dann folgt aus der Gleichung:
$c(u,v)=1$ und damit
$F(u,v) := C(u,v)=u \cdot v$
also kann man  F(u,v) explizit angeben.
Wählt man einen anderen Wert für p, dann wird es sehr kompliziert.
c(u,v) läßt sich nicht mehr explizit hinschreiben, also kann man auch
F(u,v) nicht mehr explizit angeben.
Vermutlich wird es dann ein numerisches Problem.
Ist das richtig oder kannst du mir eine weitere Copula nennen,
wo man dann auch F(u,v) explizit angeben kann ?

2)
Wenn man also seine Verteilungsfunktion F(a,b) berechnet hat
(entweder mittels Unabhängigkeit oder mit Copula), dann hat man ja nur den Fall für spezielle Gebiete auf $[0,1]^2$, nämlich Rechtecken:
$F(a,b) := P([0,a] \times [0,b])$
Wenn ich jetzt z.B. $E(X_1+X_2)$ als Anfänger explizit berechnen will,
muß ich nicht mehr über eine Rechtecksfläche, sondern über ein Dreiecksfläche integrieren (im allgemeinen Fall über ein "beliebiges" Gebiet):
$E(X_1+X_2)=E((X_1,X_2) \in D)$
wobei D eine Dreiecksfläche ist.
Welche Argumentation hilft hier weiter?

mfg
cx




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2265
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-05-02


2021-05-02 09:10 - carlox in Beitrag No. 12 schreibt:
Ist das richtig oder kannst du mir eine weitere Copula nennen,
wo man dann auch F(u,v) explizit angeben kann ?

Wenn du $F$ gern explizit ausrechnen möchtest, solltest du zu einer der Copulas in der Table with the most important Archimedean copulas greifen.

Allerdings ist dieses explizite Ausrechnen nicht notwendig, denn du kannst das dich interessierende Wahrscheinlichkeitsmaß ohne Umweg über die Verteilungsfunktion $F$ direkt mit deren Dichte $f$ hinschreiben.

2021-05-02 09:10 - carlox in Beitrag No. 12 schreibt:
Welche Argumentation hilft hier weiter?

Du musst wissen, dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß durch seine Verteilungsfunktion eindeutig definiert ist.

In dem Spezialfall, dass die marginalen Verteilungen $F_1$ und $F_2$ Dichten $f_1$ und $f_2$ besitzen und du eine Copula mit Dichte $c$ verwendest, kannst du die Dichte $f$ von $F$ direkt hinschreiben:$$\begin{align*}
f(a,b) &= c\bigl(F_1(a),F_2(b)\bigr)\,f_1(a)\,f_2(b) \\[1.7ex]
P(D) & =\int_Df(a,b)\;\mathrm d\lambda^2(a,b) \\[1.3ex]
E\bigl[\varphi(X_1,X_2)\bigr] & =\int_{[0,1]^2}\varphi(a,b)\,f(a,b)\;\mathrm d\lambda^2(a,b) \;,
\end{align*}$$wobei $\lambda^2$ das zweidimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03


2021-05-02 09:52 - zippy in Beitrag No. 13 schreibt:
Wenn du $F$ gern explizit ausrechnen möchtest, solltest du zu einer der Copulas in der Table with the most important Archimedean copulas greifen.

Dann nehme ich z.B:
Ali-Mikhail-Faq, also:
$C_{\Theta}(u,v)=\frac{uv}{1-\Theta(1-u)(1-v)}   $
und wähle $\Theta=1$, ergibt dann:
$C_1(u,v)=\frac{uv}{u+v-uv} $
Dann folgt für $F_1(a):=a$ und $F_2(b):=b$
für die Verteilungsfunktion von $Z=(X,Y)$:
$F(a,b)=\frac{ab}{a+b-ab}$
Daraus folgt dann (zur Probe):
$F_1(a):=P(X \leq a, Y \leq 1) = F(a,1) = \frac{a \cdot 1}{a+1-a \cdot 1}=a $
$F_2(b):=P(X \leq 1, Y \leq b) = F(1,b) = \frac{1 \cdot b}{1+b-1 \cdot b}=b $

Ist das korrekt?


Allerdings ist dieses explizite Ausrechnen nicht notwendig, denn du kannst das dich interessierende Wahrscheinlichkeitsmaß ohne Umweg über die Verteilungsfunktion $F$ direkt mit deren Dichte $f$ hinschreiben.
Du beziehst dich auf die Überschrift (in dem von dir verlinkten Artikel über Copulas):
Mathematical derivation of copula density function und die dort abgeleitete Formel:
$f_{XY}(x,y)=c(u,v) \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) $
und auf deine Argumentation (wenn ich dich richtig interpretiere, oder ?):
=============================================================
In dem Spezialfall, dass die marginalen Verteilungen $F_1$ und $F_2$ Dichten $f_1$ und $f_2$ besitzen und du eine Copula mit Dichte $c$ verwendest, kannst du die Dichte $f$ von $F$ direkt hinschreiben:$$\begin{align*}
f(a,b) &= c\bigl(F_1(a),F_2(b)\bigr)\,f_1(a)\,f_2(b) \\[1.7ex]
P(D) & =\int_Df(a,b)\;\mathrm d\lambda^2(a,b) \\[1.3ex]
E\bigl[\varphi(X_1,X_2)\bigr] & =\int_{[0,1]^2}\varphi(a,b)\,f(a,b)\;\mathrm d\lambda^2(a,b) \;,
\end{align*}$$wobei $\lambda^2$ das zweidimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.
=============================================================
Frage1:
Aber woher bekommt man die Dichte $c(F_1(a),F_2(b))$ ??
In dem von dir verlinkten Copula-Artikel habe ich ich kein c(u,v) für
Archimedian Copula Ali-Mikhail-Faq gefunden.

Frage2:
Unter der Überschrift Mathematical derivation of copula density function
steht in dem von dir verlinkten Copula-Artikel:
$f_{XY}(x,y)=c(u,v) \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) $
Woher kommt das u und v? Müßte es nicht:
$f_{XY}(x,y)=c(F_1(a),F_2(b)) \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) $
heißen ?



2021-05-02 09:10 - carlox in Beitrag No. 12 schreibt:

Welche Argumentation hilft hier weiter?
Du musst wissen, dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß durch seine Verteilungsfunktion eindeutig definiert ist.
Meinst du den Korrespondenzsatz ?

mfg
cx







Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2265
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-05-03


2021-05-03 18:23 - carlox in Beitrag No. 14 schreibt:
Ist das korrekt?

Ja.

2021-05-03 18:23 - carlox in Beitrag No. 14 schreibt:
$f_{XY}(x,y)=c(u,v) \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) $

Das ist nur ein Zwischenergebnis einer längeren Rechnung und so isoliert unverständlich. Du findest die "fertige" Formel aber im Abschnitt Sklar's theorem.


2021-05-03 18:23 - carlox in Beitrag No. 14 schreibt:
Aber woher bekommt man die Dichte $c(F_1(a),F_2(b))$ ??

Die brauchst du an dieser Stelle nicht. Du hast zwei Möglichkeiten:
1. Du nimmst eine Copula, für die $C$ angegeben ist (also z.B. eine aus der Table with the most important Archimedean copulas), und setzt die $F_i$ ein. Dann erhältst du $F$ direkt und $f$ (falls diese Dichte existiert) durch Differenzieren.
2. Du nimmst eine Copula, für die die Dichte $c$ angegeben ist (also z.B. eine aus der List of copula density functions), und setzt die $F_i$ ein. Dann erhältst du $f$ direkt.

Wichtig ist, dass du in keinem der beiden Fälle integrieren musst, so wie du es in Beitrag Nr. 12 versucht hast.

2021-05-03 18:23 - carlox in Beitrag No. 14 schreibt:
Meinst du den Korrespondenzsatz ?

Ja.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-04


2021-05-03 20:59 - zippy in Beitrag No. 15 schreibt:

2021-05-03 18:23 - carlox in Beitrag No. 14 schreibt:
Aber woher bekommt man die Dichte $c(F_1(a),F_2(b))$ ??

Die brauchst du an dieser Stelle nicht. Du hast zwei Möglichkeiten:
1. Du nimmst eine Copula, für die $C$ angegeben ist (also z.B. eine aus der Table with the most important Archimedean copulas), und setzt die $F_i$ ein. Dann erhältst du $F$ direkt und $f$ (falls diese Dichte existiert) durch Differenzieren.
2. Du nimmst eine Copula, für die die Dichte $c$ angegeben ist (also z.B. eine aus der List of copula density functions), und setzt die $F_i$ ein. Dann erhältst du $f$ direkt.

Wichtig ist, dass du in keinem der beiden Fälle integrieren musst, so wie du es in Beitrag Nr. 12 versucht hast.


1)
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe und die wertvollen Infos.
Ich versuche das an einem konkreten Beispiel (siehe unten) umzusetzen, so daß es ganz konkret und vielleicht auch eine Hilfe für andere Anfänger wird.

2)
Auf das was du oben mit
"1. Du nimmst eine Copula..."
"2. Du nimmst eine Copula..."
"Wichtig ist, dass du in keinem der beiden Fälle integrieren musst"
bezeichnet hast, habe ich mich bei meinen Lösungen bezogen mit:

LÖSUNG 1
LÖSUNG 2
LÖSUNG 3

Hast du das gemeint ?
Sind die Lösungen korrekt?
Vermutlich hat es noch eine Menge Schreibfehler drin, die ich noch ausbessern muß.


BEISPIEL
gegeben:
$\Omega=[0,1] \times [0,1]$
$\Sigma$ = die $\sigma$-Algebra der Borelschen Mengen auf $\Omega$
P sei ein WK-Maß auf $\Sigma$, das hier später noch explizit angegeben (bestimmt) wird (z.B. könnte das das Lebesguemaß sein)

Die Zufallsvariablen $X$, $Y$ und  $Z=(X,Y)$ werden wie folgt definiert:
$X(x,y) := x$  mit Dichte:
$f_X(x) := 1$ für $0 \leq x \leq 1$
$f_X(x) := 0$ für $x \leq 0$
$f_X(x) := 0$ für $x \geq 1$
also zugehörige Verteilungsfunktion
$F_X(x)=x$ für $0 \leq x \leq 1$
$F_X(x)=0$ für $x \leq 0$
$F_X(x)=1$ für $x \geq 1$

$Y(x,y) := y$  mit Dichte $f_Y(y)$ und zugehörige Verteilungsfunktion $F_Y(y)$ analog wie bei Zufallsvariable X

Definiere: $\phi(X,Y) := X+Y$
Es gilt:
$E(X)=\int_{0}^{1} x \cdot f_X(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2} $
$E(Y)=\int_{0}^{1} x \cdot f_Y(y) \, dy = \int_{0}^{1} y \, dy = \frac{1}{2} $
Da für alle Zufallsvariableb $X$ und $Y$ gilt:
$E(X+Y)= E(X) + E(Y)$
folgt hier:
$E(X+Y)= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}=1$
Das soll nun explizit nachgeprüft werden.
Infos zu den gewählten Copulas befinden sich hier:
en.wikipedia.org/wiki/Copula_(probability_theory)

LÖSUNG 1:
Als Copula wird z.B, Ali-Mikhail-Faq gewählt, also:
$C_{\Theta}(u,v)=\frac{uv}{1-\Theta(1-u)(1-v)}   $
Wähle $\Theta=0$, das ergibt dann:
$C_1(u,v)=uv $
Also gilt für die Verteilungsfunktion $F_Z$ von $Z=(X,Y)$:
$F_Z(x,y)=xy$
Also gilt nach einem Satz in der Analysis für die Dichte $f_Z
=f_{(X,Y)} := f_{XY}$ von Z:
$f_Z(x,y)=\frac{\partial F^2(x,y)}{\partial x \partial y}=1$

Probe machen (Hat $F_Z$ auch die Randverteilungen $F_X$ und $F_Y$) ?
$F_1(a):=P(X \leq a, Y \leq 1) = F(a,1) = a \cdot 1 = a $
$F_2(b):=P(X \leq 1, Y \leq b) = F(1,b) = 1 \cdot b = b $

-----------------------------------------
WICHTIG (*):
Man hat also mit Hilfe einer Copula eine Verteilungsfunktion $F_Z$ von $Z=(X,Y)$ gebastelt (mit den Randverteilungen $F_X$ und $F_Y$).
Nach dem Korrespondenzsatz der Stochastik wird damit das Bildmaß P auf dem WK-Raum eindeutig festgelegt.
-----------------------------------------

Berechnung von E(X+Y):
Nach dem Integrationssatz gilt:
$E(X+Y)=\int_{[0,1]^2}\phi(X,Y) \cdot f(x,y) \, dx \, dy $=
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(x+y) \, dx \, dy $ = $\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} (x+y) \, dx) \, dy $ =
$\int_{0}^{1} \left[\frac{x^2}{2}+xy \right]_{0}^{1}$ = $\int_{0}^{1} (\frac{1}{2}+y) dy$ = $\left[\frac{1}{2}y+ \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1}) dy$ = 1
 
LÖSUNG 2:
Als Copula-Dichte wird Farlie–Gumbel–Morgenstern (FGM) gewählt, also c(u,v) mit:
$c(u,v)= \Phi(1-2u)(1-2v)$ mit $\Phi \in [-1,1]$ und wähle $\Phi=1$. Das ergibt:
$c(u,v)= (1-2u)(1-2v) = 2-2u-2v+4uv  $
Laut Copula-Artikel gilt:
$f_{XY}(x,y) = c(F_X(x),F_Y(y)) \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y)$

Mit $u:= F_1(x)=x$ und $v:= F_2(y)=y$ ergibt das:
$f_{XY} = (2-2x-2y+4xy) \cdot 1 \cdot 1$
also:
$f_{XY} = 2-2x-2y+4xy $
Nach dem Integrationssatz gilt:
$E(X+Y)= E(\phi \circ (X,Y)) = \int_{\mathbb{R^2}} \phi(x,y) \cdot f_{XY}(x,y) \, dx \, dy  = \int_{[0,1]^2} \phi(x,y) \cdot f_{XY}(x,y) \, dx \, dy $ =
$\int_{[0,1]^2} (x+y) \cdot (2-2x-2y+4xy) \, dx \, dy $ =
$\int_{[0,1]^2} (2x+2y-4xy-2x^2-2y^2+4x^2y+4xy^2) \, dx \, dy $ =
$\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} (2x+2y-4xy-2x^2-2y^2+  4x^2y+4xy^2) \, dx) \, dy $ =
$\int_{0}^{1} \left[(x^2+2xy -2x^2y -\frac{2}{3}x^3-2y^2x +\frac{4}{3}x^3y +2x^2y^2 \right]_{0}^{1}) \, dy $ =
$\int_{0}^{1} (1+2y -2y -\frac{2}{3}-2y^2 +\frac{4}{3}y +2y^2 ) \, dy $ = $\int_{0}^{1} (\frac{1}{3} +\frac{4}{3}y) \, dy $ =
$\left[\frac{1}{3}y +\frac{2}{3}y^2) \right]_{0}^{1} $ = 1

Bemerkung:
Das Ergebnis gilt für alle $\phi \in [0,1]$:
$f_{XY} = \Phi(1-2x)(1-2y)$ , also:
$E(X+Y)=\int_{[0,1]^2} (x+y) \cdot \Phi(1-2x)(1-2y) \, dx \, dy $ =
$\int_{[0,1]^2} (x + y + \Phi x + \Phi y - 2\Phi x^2- 2\Phi y^2 - 4\Phi xy + 4\Phi x^2y + 4\Phi xy^2) \, dx \, dy $ =
$\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} (x + y + \Phi x + \Phi y - 2\Phi x^2- 2\Phi y^2 - 4\Phi xy + 4\Phi x^2y + 4\Phi xy^2) \, dx) \, dy $ =
$\int_{0}^{1} (\left[\frac{1}{2}x^2 + yx + \frac{\Phi}{2}x^2 + \Phi xy -    
\frac{2}{3} \Phi x^3 - 2\Phi xy^2 - 2\Phi x^2y + \frac{4}{3}\Phi x^3y + 2\Phi x^2y^2 \right]_{0}^{1}) \, dy $ =
$\int_{0}^{1} (\frac{1}{2} + y + \frac{\Phi}{2} + \Phi y - \frac{2}{3} \Phi - 2\Phi y^2 - 2\Phi y + \frac{4}{3}\Phi y + 2\Phi y^2) \, dy $ =
$\left[\frac{1}{2}y - \frac{\Phi}{6}y + \frac{1}{2}y^2 -\frac{\Phi}{2}y^2 - \frac{2}{3} \Phi y^3 + \frac{2}{3} \Phi y^2 + \frac{2}{3}\Phi y^3 \right] \, dy $ =
$\left[\frac{1}{2} - \frac{\Phi}{6} + \frac{1}{2} -\frac{\Phi}{2} - \frac{2}{3} \Phi + \frac{2}{3} \Phi + \frac{2}{3}\Phi \right] \, dy $ = 1


LÖSUNG 3:
$S:=X+Y$

----------------------------------
Bemerkung (siehe WICHTIG (*)):
Da P durch $F_S$ eindeutig festgelegt ist, kann man für eine beliebige Menge A, die borelmeßbar ist, $P(X \in A)$ berechnen:
$P(Z \in A)=\int_{A} f_Z(x) \, dx$
----------------------------------

$E(S) = \int_{-\infty}^{\infty} s \cdot f_S(s) $
wobei $f_S$ die Dichte der Verteilungsfunktion $F_S$ von S ist.
Berechnung von $F_S$:
$F_S(a)=P(S \leq a) = P(X+Y \leq a) = P((X,Y) \in A) $ =
$\int_{A} f_Z(x,y) \, dy \, dy= \int_{A} 1 \, dy \, dy = A$
wobei A eine Dreiecksfläche bzw. ein Trapez ist.
Es gilt:
$0 \leq a \leq 1: A = \frac{a^2}{2}$
$1 \leq a \leq 2: A = 1-\frac{(2-a)^2}{2}=-\frac{a^2}{2}+2a-1   $
$a \, \leq \, 0: A = 0  $
$a \, \geq \, 2 : A = 1  $

also:
$0 \leq a \leq 1: F_S(a) = \frac{a^2}{2}$
$1 \leq a \leq 2: F_S(a) = 1-\frac{(2-a)^2}{2}=-\frac{a^2}{2}+2a-1   $
$a \, \leq \, 0:  F_S(a) = 0  $
$a \, \geq \, 2 : F_S(a) = 1  $

also:
$0 \leq a \leq 1: f_S(a) = a$
$1 \leq a \leq 2: f_S(a) = -a+2$
$a \, \leq \, 0:  f_S(a) = 0  $
$a \, \geq \, 2 : f_S(a) = 0  $

also:
$E(S) = \int_{-\infty}^{\infty} s \cdot f_S(s) \, ds$ =
$\int_{0}^{1} s \cdot f_S(s) \, ds+ \int_{1}^{2} s \cdot f_S(s) \, ds $ =  
$\int_{0}^{1} s \cdot s \, ds+ \int_{1}^{2} s \cdot (2-s) \, ds $ =
$\int_{0}^{1} s^2 \, ds+ \int_{1}^{2} (2s-s^2) \, ds $ =
$\left[ \frac{s^3}{3} \right]_{0}^{1} + \left[s^2-\frac{s^3}{3}\right]_{1}^{2}$ = 1


mfg
cx



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-05-05


Huhu carlox,

ein paar Anmerkungen:

- Deine $X$ und $Y$ aus dem BEISPIEL sind etwas seltsam. $X(x,y)=x$ ist nahezu sicher nicht die Zufallsvariable, die Du meinst (entsprechendes gilt für $Y$.
Es sollte sich jeweils um messbare Abbildungen von $[0,1]\rightarrow [0,1]$ handeln. Die Dichten und Verteilungsfunktionen sind allerdings in Ordnung.

- "Das soll nun explizit nachgeprüft werden." Wieso? Niemand rechnet Ableitungen und Integrale über Differenzenquoitienten und Riemen-Summen aus, wenn es nicht unbedingt erforderlich ist...

- Wenn Du unter "LÖSUNG 1" die Unabhängigkeitscopula mit $C(u,v)=uv$ betrachten willst, dann solltest Du diese auch so nennen.

- In Deiner "LÖSUNG 3" betrachtest Du mit $S$ keine auf $[0,1]^2$ definierte Zufallsvariable.

- Noch einmal generell die Frage: Was möchtest Du hier zeigen / tun? Nachweisen, dass eine bewiesene Formel $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ auch für einige ziemlich spezielle Beispiele gilt? Und zwar indem Du ziemlich umständliche Konstrukte verwendest?
Du sagst, Du wollest damit anderen Trainierenden helfen. Das ist sicher ein netter Zug.

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05


2021-05-05 16:31 - AnnaKath in Beitrag No. 17 schreibt:
ein paar Anmerkungen:

- Deine $X$ und $Y$ aus dem BEISPIEL sind etwas seltsam. $X(x,y)=x$ ist nahezu sicher nicht die Zufallsvariable, die Du meinst (entsprechendes gilt für $Y$.
Es sollte sich jeweils um messbare Abbildungen von $[0,1]\rightarrow [0,1]$ handeln. Die Dichten und Verteilungsfunktionen sind allerdings in Ordnung.
Das verwirrt mich jetzt aber (deswegen gehe ich erstmal nur auf diesen Punkt ein), denn so wie ich es gelernt habe, ist die Zufallsvariable X eine Abbildung von $\Omega$ nach $\mathbb{R}$, also:
$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$
mit $(X \leq a) \in \Sigma$ für alle $a \in \mathbb{R}$
und in meinem Beispiel ist $\Omega =[0,1]^2$
Kannst du mir bitte konkret schreiben, wo mein Denkfehler ist.

Vielleicht hängt das mit deinem Argument von dir zusammen:
-----------------------------------
- In Deiner "LÖSUNG 3" betrachtest Du mit $S$ keine auf $[0,1]^2$ definierte Zufallsvariable.
-----------------------------------

mfg
cx




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2021-05-05


Huhu Carlox,

es ist nicht notwendig falsch, was Du geschrieben hast. Man kann diese Zufallsvariablen betrachten.
Manche Dinge sind sicherlich persönliche Vorlieben, aber für die vorgeschriebene Konstellation fände ich es weitaus natürlicher zwei (reelle) Zufallsvariablen $X, Y$ auf $[0,1]$ zu betrachten, dadurch ergibt sich die Konstruktion der gemeinsamen Verteilung auf dem Produktraum (der dann zu $[0,1]^2$ isomorph ist) mit einer Copula "von selbst".

Es spricht überhaupt nichts dagegen, dass verschiedene Zufallsvariablen auf verschiedenen Wahrscheinlichkeitsräumen definiert sind; wie gesagt, meist spielen dieser ja überhaupt keine Rolle.

Deine Rechnen unter "LÖSUNG 3" ist ja nicht falsch und $S$ ist natürlich eine Zufallsvariable. Sie ist aber auf dem Produktraum der Urbildräume von $X$ und $Y$ definiert (und somit nicht auf dem von Dir angegebenen $\Omega=[0,1]^2$ - sofern Du $X$ und $Y$ darauf definierst).

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05


Hallo AnnaKath,

2021-05-05 21:16 - AnnaKath in Beitrag No. 19 schreibt:
es ist nicht notwendig falsch, was Du geschrieben hast. Man kann diese Zufallsvariablen betrachten.
Manche Dinge sind sicherlich persönliche Vorlieben, aber für die vorgeschriebene Konstellation fände ich es weitaus natürlicher zwei (reelle) Zufallsvariablen $X, Y$ auf $[0,1]$ zu betrachten, dadurch ergibt sich die Konstruktion der gemeinsamen Verteilung auf dem Produktraum (der dann zu $[0,1]^2$ isomorph ist) mit einer Copula "von selbst".
Danke für den Tipp. Damit werde ich mich später auch mal beschäftigen.
Aber erst muß ich das hier abklären.


Es spricht überhaupt nichts dagegen, dass verschiedene Zufallsvariablen auf verschiedenen Wahrscheinlichkeitsräumen definiert sind
Ich habe hier bei meinem Beispiel nur genau einen WK-Raum benutzt mit
$\Omega=[0,1]^2$


Deine Rechnen unter "LÖSUNG 3" ist ja nicht falsch und $S$ ist natürlich eine Zufallsvariable. Sie ist aber auf dem Produktraum der Urbildräume von $X$ und $Y$ definiert (und somit nicht auf dem von Dir angegebenen $\Omega=[0,1]^2$ - sofern Du $X$ und $Y$ darauf definierst).
Warum ist $S=X+Y$ nicht auf $\Omega=[0,1]^2$ definiert?
Das verstehe ich nicht.

mfg
cx



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2021-05-05


Huhu Carlox,

vermutlich denke ich nur völlig anders. Hmm, Du kannst es vermutlich durchaus so modellieren, wie Du es tust...

Du hast eine Zufallsvariable $Z$ mit Werten in $[0,1]^2$ und definierst Dir $X = \pi_1 \circ Z$ und $Y = \pi_2 \circ Z$. Die Abhängigkeitsstruktur von $X$ und $Y$ kannst Du dann über eine Copula und die Verteilungsfunktionen $F_X$ und $F_Y$ beschreiben. $S = X + Y$ ist dann ebenfalls auf dem gleichen W'Raum definiert.

Ich möchte Dich nicht verwirren.

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-08


Hallo Annakath,
2021-05-05 16:31 - AnnaKath in Beitrag No. 17 schreibt:
- Noch einmal generell die Frage: Was möchtest Du hier zeigen / tun? Nachweisen, dass eine bewiesene Formel $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ auch für einige ziemlich spezielle Beispiele gilt? Und zwar indem Du ziemlich umständliche Konstrukte verwendest?
Du sagst, Du wollest damit anderen Trainierenden helfen. Das ist sicher ein netter Zug.
lg, AK
Ich beschäftige mich gerade etwas mit Stochastik. Deshalb will ich - zu Übungszwecken - ein paar Beispiele mit allen möglichen Varianten durchrechnen, die ich hier vorstelle.
In die Lösungen fließt hoffentlich das ein, was ich in diesem Thread dankenswerterweise erklärt bekomme und hoffentlich auch verstanden habe.
Die ausführlichen Rechnungen sollen mir und anderen helfen dies auch nachzuvollziehen.
Der Thread soll (hoffentlich) auch anderen Anfängern etwas bringen.
Für Experten und Profis wie dich ist das natürlich nur "Kalter Kaffee" und eigentlich dazu gedacht, mich auf Denkfehler hinzuweisen.
Für das bedanke ich mich.

mfg
cx
 







Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2021-05-08


Huhu Carlox,

Dein Anliegen ist fein. Und ich will Dich auch nicht kritisieren, sondern nur darauf hinweisen, wo Du meiner Meinung nach in falsche/ineffiziente/verwirrende Richtungen läufst. Oder Sachen sagst/tust, die zumindest mich verwirren.

Die konkrete Berechnung von Erwartungswerten und Randverteilungen mit Dichten ist sicherlich eher schnöde Technik (und zumindest ich versuche, derartiges zu vermeiden oder einem Rechner zu überlassen). Irgendwann macht man das aber natürlich einmal und wenn Du dadurch eher Verständnis gewinnst - dann sei das eben so.

Was mich allerdings wirklich stört - und deswegen diskutiere ich hier - ist das "Modellieren" eines Wahrscheinlichkeitsraums $\Omega$. Warum das sehr wenig zielführend ist, möchte ich Dir an einem Beispiel zeigen:

Wir werfen eine faire Münze und modellieren das durch den W'Raum $\Omega = \{ 0, 1 \}$ mit der Potenzmenge als $\sigma$-Algebra und der diskreten Gleichverteilung als Wahrscheinlichkeitsmass.
Fragen wir uns beispielsweise, (ob und dann) welchem Wert sich Mittelwert der Würfe nach (zahlreichen) Münzwürfen annähert.
Natürlich wissen wir, dass der Erwartungswert $0.5$ auch der Grenzwert der Mittelwerte der Münzwürfe ist. Dies könnte man wie folgt zu beweisen versuchen:
Bezeichne $X_j : \Omega \mapsto \{0, 1 \}$ den $j$. Münzwurf. Die Würfe sind unabhängig und haben endlichen Erwartungswert, somit gilt nach dem starken Gesetz der grossen Zahlen $\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j \rightarrow EX_1 = 0.5$ f.s.

Ein kurzer, knapper Beweis? Leider nein, wenn man "boshaft" ist. Was sagt das starke Gesetz in der hier verwendeten Form? Ist $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit jeweils endlichem Erwartungswert, so konvergiert $\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j$ und zwar fast sicher gegen $EX_1$ (bzw. den Erwartungswert jeder Zufallsvariablen, die ja identisch verteilt sind). Auf dem Raum $\Omega$ gibt es aber keine solche Folge! Es gibt tatsächlich nur zwei Zufallsvariablen, die die gewünschte Verteilung besitzen (und diese sind beileibe nicht unabhängig).

(Selbstverständlich erkennt trotzdem vermutlich nahezu jeder den Beweis an, denn es ist klar, was gemeint ist - es gibt einen W'Raum, auf dem eine Folge von Zufallsvariablen existiert, und dann gilt das Gesagte natürlich. Allerdings ist der Nachweis keineswegs so offensichtlich - typischerweise benötigt man den Satz von Tychonov aus der Topologie um die Existenz eines solchen Raumes - nämlich als Produktraum von unendlich vielen Kopien von $\Omega_0 = \{K, Z\}$ - nachzuweisen).

Ich hoffe, Du verstehst nun, warum ich ein wenig zögerlich bin, Deine Ausführungen als "konkrete Rechnungen" oder "anschauliche Beispiele" zu sehen. Die Rechnerei mit Dichten und Integralen ist lästig (aber nicht falsch), die Modellierung von W'Räumen fahrlässig (wenn hier auch zulässig, ohne dass Du das bewiesen hättest).

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09


2021-05-08 10:38 - AnnaKath in Beitrag No. 23 schreibt:
Die konkrete Berechnung von Erwartungswerten und Randverteilungen mit Dichten ist sicherlich eher schnöde Technik (und zumindest ich versuche, derartiges zu vermeiden oder einem Rechner zu überlassen). Irgendwann macht man das aber natürlich einmal und wenn Du dadurch eher Verständnis gewinnst - dann sei das eben so.
(*)
Irgendwann, wenn man genügend viel "gerechnet" und trainiert hat, hängt es einem zum Hals heraus und wählt dann elegantere Lösungen.


Was mich allerdings wirklich stört - und deswegen diskutiere ich hier - ist das "Modellieren" eines Wahrscheinlichkeitsraums $\Omega$. Warum das sehr wenig zielführend ist, möchte ich Dir an einem Beispiel zeigen:

...

Ein kurzer, knapper Beweis? Leider nein, wenn man "boshaft" ist. Was sagt das starke Gesetz in der hier verwendeten Form? Ist $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit jeweils endlichem Erwartungswert, so konvergiert $\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j$ und zwar fast sicher gegen $EX_1$ (bzw. den Erwartungswert jeder Zufallsvariablen, die ja identisch verteilt sind). Auf dem Raum $\Omega$ gibt es aber keine solche Folge! Es gibt tatsächlich nur zwei Zufallsvariablen, die die gewünschte Verteilung besitzen (und diese sind beileibe nicht unabhängig).

(Selbstverständlich erkennt trotzdem vermutlich nahezu jeder den Beweis an, denn es ist klar, was gemeint ist - es gibt einen W'Raum, auf dem eine Folge von Zufallsvariablen existiert, und dann gilt das Gesagte natürlich. Allerdings ist der Nachweis keineswegs so offensichtlich - typischerweise benötigt man den Satz von Tychonov aus der Topologie um die Existenz eines solchen Raumes - nämlich als Produktraum von unendlich vielen Kopien von $\Omega_0 = \{K, Z\}$ - nachzuweisen).

Ich hoffe, Du verstehst nun, warum ich ein wenig zögerlich bin, Deine Ausführungen als "konkrete Rechnungen" oder "anschauliche Beispiele" zu sehen. Die Rechnerei mit Dichten und Integralen ist lästig (aber nicht falsch), die Modellierung von W'Räumen fahrlässig (wenn hier auch zulässig, ohne dass Du das bewiesen hättest).


Hallo AnnaKath,
Ja, man muß aufpassen, daß die Modellierung korrekt wird.
Ich versuche trotzdem Modellierungen zu machen (siehe (*))
Vermutlich komme ich irgendwann damit nicht weiter und dann muß ich den von dir zitieren Satz verwenden.

Ich würde deinen Fall wie folgt modellieren:
$\Omega=\{0,1\}^\infty$
$\sigma$-Algebra = Potenzmenge von $\Omega$

Bevor ich das WK-Maß definiere, noch eine Definition:
$\left[(i_1,w_1), ..., (i_n,w_n) \right] := \{(x_1,x_2,...) \in \Omega \, \vert \, x_{i_1}=w_1 \, \land ... \, \land \, x_{i_n}=w_n\}   $

Das WK-Maß auf der $\sigma$-Algebra wird wie folgt definiert:
$P(\left[(i_1,w_1), ..., (i_n,w_n) \right]) := (\frac{1}{2})^n $
und für $(x_1,x_2,...) \in \Omega$:
$P((x_1,x_2,...)) = 0$

Beispiel:
$P(\left[(2,1),(3,0)\right])=$
Wahrscheinlichkeit für alle Folgen aus $\Omega$, die an der Stelle 2 die 1 und an der Stelle 3 die 0 haben.
Lax geschrieben:
$P(?,1,0,?,?,...)= (\frac{1}{2})^2$

Definition der unendlich vielen Zufallsvariablen $X_i$:
$X_i((x_1,x_2,...)) := x_i$

Dann gilt:
$P(X_i=w_1) = P(\left[(i,w_1)\right]) = \frac{1}{2}$
$P(X_j=w_2) = P(\left[(j,w_2)\right]) = \frac{1}{2}$
$P(X_i=w_1; X_j=w_2 ) = P(\left[(i,w_1), (j,w_2)\right]) = (\frac{1}{2})^2$
$P(X_i \leq 1) = P(\Omega)=1$
$P(X_i \leq 0) = P(X_i = 0) = P(\left[(i,0)\right])=  \frac{1}{2} $
$P(X_i \leq 0) \cdot P(X_j \leq 0) = P(X_i =0) \cdot P(X_j=0) =
(\frac{1}{2})^2 $
$P(X_i \leq 0 ; X_j \leq 0) = P(X_i = 0 ; X_j = 0) = P(\left[(i,0), (j,0)\right])) = (\frac{1}{2})^2 $
und man kann das noch zeigen:
$P(X_i \leq a ; X_j \leq b)= P(X_i \leq a) \cdot  P(X_j \leq b)$
also sind $X_j$ und $X_j$  für $i \neq j$ unabhängig.

Ist diese Modellierung korrekt?

mfg
cx

// Edit
1)
Es gibt einen Fehler in meiner Argumentation.
Ich habe nicht gezeigt, daß P auf der ganzen $\sigma$-Algebra, d.h. auf der ganzen Potenzmenge von $\Omega$ definiert ist.

2)
Hier ein neuer Versuch:
$\Omega=\{0,1\}^n$ und $n>0$
$\sigma$-Algebra = Potenzmenge von $\Omega$

Definition:
$\left[(i_1,w_1), ..., (i_n,w_n) \right] := \{(x_1,x_2,...) \in \Omega \, \vert \, x_{i_1}=w_1 \, \land ... \, \land \, x_{i_n}=w_n\}   $

Das WK-Maß auf der $\sigma$-Algebra wird wie folgt definiert:
$P((x_1,...,x_n)) = (\frac{1}{2})^n $
Jede Teilmenge von $\Omega$ läßt sich als disjunkte Vereinigung solcher
"Elementarmengen" $\{(x_1,...,x_n) \vert (x_1,...,x_n) \in \Omega \}$ darstellen.

Definition der unendlich vielen Zufallsvariablen $X_i$:
$X_i((x_1,x_2,...)) := x_i$

Dann gilt:
$P(X_i=w_1) = P(\left[(i,w_1)\right]) = \frac{1}{2}$
$P(X_j=w_2) = P(\left[(j,w_2)\right]) = \frac{1}{2}$
$P(X_i=w_1; X_j=w_2 ) = P(\left[(i,w_1), (j,w_2)\right]) = (\frac{1}{2})^2$

und man kann dann zeigen:
$P(X_i \leq a ; X_j \leq b)= P(X_i \leq a) \cdot  P(X_j \leq b)$
also sind $X_j$ und $X_j$  für $i \neq j$ unabhängig.

3)
Leider habe ich damit nicht den Fall modelliert, den AnnaKath vorgestellt hat. Ich bin mit meinem Latein am Ende und habe auch keine Idee, wie ich das modellieren kann.
Hat jemand eine Idee?

4)

Allerdings ist der Nachweis keineswegs so offensichtlich - typischerweise benötigt man den Satz von Tychonov aus der Topologie um die Existenz eines solchen Raumes - nämlich als Produktraum von unendlich vielen Kopien von $\Omega_0 = \{K, Z\}$ - nachzuweisen).
Ich kenne keine WK-Theorie-Vorlesung (was nicht viel heißt) bzw. WK-Theorie-Skript, wo das problematisiert wird.
Im Gegenteil: nach Angabe von ganz wenigen, konkreten Beispielen von WK-Räumen bekommt man den Eindruck, daß die konkrete Angabe von $\Omega$ und der ZVen $X_i$ trivial und daher unnötig ist.
Mit keiner Silbe wird auf die von AnnaKath vorgestellte Problematik eingegangen.
Das finde ich schon heftig. Man fühlt sich leicht verschaukelt...

mfg
cx
















Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2021-05-13


Huhu Carlox,

Du batest mich noch ein paar Anmerkungen zu machen und so will ich das gerne tun.
Wir behandeln das Münzwurfexperiment und Dein ursprüngliches Problem, eine Verteilung auf$[0,1]^2$ mit vorgegebenen Randverteilungen zu finden (welche Du dann konkret durch Copulae modellierst) in einem Aufwasch. Die folgende Übung sollte man nach Möglichkeit genau einmal in seinem Leben machen...*


Wir betrachten im Folgenden eine Indexmenge $I\neq\emptyset$ und eine Familie von messbaren Räumen $(\Omega_i, \mathcal{A}_i)_{i\in I}$. Die endlichen Teilmengen von $I$ bezeichnen wir mit $F(I)$. Geben wir uns nur für jedes $J\in F(I)$ ein W'Maß $P_J$ auf $\mathbb{R}^J$ vor, so wollen wir zeigen, dass es einen stochastischen Prozess gibt, dessen endlichdimensionale Verteilungen gerade die $P_J$ sind.

Für $N \subset M \subset I$ bezeichnen wir mit $\pi_{MN}$ die kanonische Projektion von $(\Omega_m)_{m\in M}$ auf $(\Omega_n)_{n\in N}$ also $(x_m)_{m \in M} \mapsto (x_n)_{n \in N}$. Wir nennen die (vorgegebene) Menge der $P_j$ konsistent, wenn für beliebige $N \subset M \subset F(I)$ gilt: $P_M \circ \pi_{MN}^{-1} = P_N$.
Des Weiteren nennen wir einen messbaren Raum $(A, \mathcal{A})$ einen Standard-Raum, wenn es einen kompakten metrischen Raum $C$ (versehen mit der Borel'schen $\sigma$-Algebra) gibt, so dass eine bijektive Abbildung $f:A\rightarrow C$ existiert, so dass $f$ und $f^{-1}$ messbar sind.

Unter Verwendung des Satzes von Tychonov** zeigt man dann den folgenden Existenzsatz (von Kolmogorov)***:

SATZ:
Für eine Indexmenge $I\neq\emptyset$ und einer Familie $(\Omega_i, \mathcal{A}_i)_{i\in I}$ von Standardräumen und einer konsistenten Familie $(P_J)_{J \in F(I)}$ von Wahrscheinlichkeitsmaßen existiert genau ein Warscheinlichkeitsmaß $P$ auf $(\prod_{i\in I} \Omega_i, \bigotimes_{i\in I} \mathcal{A}_i)$ mit $P \circ \pi_{IJ}^{-1} = P_J$.

Damit sind wir fertig und haben Deine Ausgangsfrage beantwortet (und meinen Beweis für das Münzwurfexperiment valide gemacht). Vermutlich sieht man das nicht sofort, also ziehen wir ein paar Korollare aus dem SATZ.

Korollar 1) Für einen Standardraum $(S, \mathcal{S})$, eine Indexmenge $I\neq \emptyset$ und eine konsistente Familie von W'Maßen $P_J$, $J\in F(I)$  existiert ein Prozess $(X_t)_{t\in I}$ mit Zustandsraum $S$, sodass die $P_J$ gerade die endlich-dimensionalen Verteilungen sind.

Korollar 2) Zu einer Familie von Standardräumen $(S_i, \mathcal{S}_i)_{i \in I}$ geben wir uns W'Maße $P_i$ vor. Dann existiert eine unabhängige Familie $(X_i)_{i\in I}$ von Zufallsvariablen mit Werten in $\Omega_i$, sodass $\mathbb{P} \circ X_i^{-1} = P_i$ gilt ($\mathbb{P}$ bezeichnet dabei das Maß eines zugrunde liegenden, hier nicht näher bezeichneten W'Raumes).

Das erste Korollar beantwortet Deine ursprüngliche Frage. Wähle die Indexmenge $I=\{1,2\}$.
Das zweite Korollar ermöglich "meinen" Beweis des Münzexperiments. Wähle hier $\Omega_i = \{K,Z\}$ und $P_i$ gegeben durch die Zähldichte mit $P_i(\{K\}) = \frac12$.

Ich hoffe, Du verstehst nun, warum es mir richtig erscheint, sich nicht mit dieser ganzen Technik herumzuschlagen, sondern sich ein für alle Mal darauf beschränkt, zu wissen, dass die interessierenden stochastischen Prozesse oder Zufallsvariablen existieren und sich dann nur noch mit diesen und deren Verteilungen zu beschäftigen. Die zu Grunde liegenden W'Räume bleiben abstrakt. Ansonsten müsste man in jedem (nichttrivialen) Falle praktisch diesen gesamten Weg erneut gehen (beachte, dass ich den Beweis des Satzes von Kolmogorov hier nicht angegeben habe!).

Niemand benutzt die tatsächliche Konstruktion der reellen Zahlen um mit diesen zu rechnen, weist bei jeder Gelegenheit die Existenz des Lebesgue-maßes nach, wenn er:sie darüber integriert etc. ...


Zum Abschluss möchte ich auf Deine Bemerkung eingehen, inwiefern dies in Vorlesungen oder Texten über Stochastik thematisiert wird. Meiner Einschätzung nach gibt es zwei Herangehensweisen:

- Die eine möchte bewusst "elementar" bleiben und orientiert sich im Grunde an der Schule. Man modelliert Zufallsexperimente durch (meist diskrete) Wahrscheinlichkeitsräume (und häufig diskrete Gleichverteilungen darauf). Üblicherweise werden die technischen Hintergründe dabei unterschlagen, in Anhängen erwähnt oder treten gar nicht auf, weil hier alles diskret bleibt. Man berechnet ein paar Erwartungswerte durch kombinatorische Spielereien, geht dann rasch zu stetigen Verteilungen auf reellen Zahlen über, betrachtet mal die Normalverteilung und nähert sich dann der Statistik. Als Lernender gewinnt man dann vielleicht den Eindruck, dass W'Theorie geschicktes Abzählen oder geschicktes Integrieren bedeutet und man mit dieser ein (eher lästiges) Grundgerüst hat, um Hypothesen zu testen und Verteilungen zu vergleichen...

- Die andere Herangehensweise will sich rasch spannenden Themen der stochastischen Analysis annähern und verlagert alle Grundlagen in eine (von vielen Lernenden oft noch gar nicht verinnerlichte) Analysis-Vorlesung ("Ich gehe davon aus, dass sie neben den mathematischen Werken auch jedes biographische Detail von J. Elstrodt kennen..."). Schnörkellos werden W'Räume und Zufallsvariablen als Spezialfälle von maßtheoretischen Dingen erklärt, notgedrungen werden "Trivialitäten" wie der zentrale Grenzwertsätze, charakteristische Funktionen behandelt (ggf. gibt man sich kurzzeitig mit Markov-Ketten ab) und kommt dann nach bedingten Erwartungen zu den schönen Dingen...

Beide Ansätze sind nicht falsch oder auch nur didaktisch unklug; allerdings ist es für Lernende vermutlich verwirrend, welche Rolle also W'Räume in der Stochastik zu spielen haben (und vor allem - warum das so ist!). Insbesondere ist es für Lernende vermutlich sehr herausfordernd, Quellen beider Stilrichtungen gemeinsam zu verwenden.


Ich hoffe, dass meine Ausführungen ein wenig hilfreich sind und vielleicht andeuten, weshalb man nach einiger Beschäftigung mit der W'Theorie vom ersten Ansatz (der natürlich wichtig zur Herausbildung von Intuition ist!) zum Zweiten übergeht (um sich unzählige technische Schwierigkeiten zu ersparen).

lg, AK.


*) Im Wesentlichen entstammen die Ausführung dem Buch "Stochastik" von D. Meintrup/ S. Schäffler; 2005; Springer, Heidelberg, New York. Dort zu finden in Anhang A.
**) Dieser Beweis ist nicht furchtbar schwierig, aber zu lang, um ihn abzutippen...
***) Manche Algebraiker würden das hier Konstruierte vermutlich gerne als projektiven Limes bezeichnet wissen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2021-05-13


Kurzer Nachtrag:

Das tiefliegende "technische" Problem bei alle den Fragestellungen, die wir hier im weiteren Sinne behandeln, ist ein topologisches. Hier liegt vielleicht auch ein Unterschied zwischen der Stochastik und der Maßtheorie.

Wir suchen Familien von Zufallsvariablen, die vorgegebene endlich-dimensionale Verteilungen haben.

Hat man Maßräume gegeben, so existiert ganz ohne weitere Voraussetzungen ein Produktmaß (s. hier). Dieses modelliert aber immer nur die unabhängige Kopplung von Zufallsvariablen; will man ggf. auch Abhängigkeit berücksichtigen, benötigt man topologische Voraussetzungen (es gibt andere Varianten, die keine Standardräume voraussetzen, siehe z.B. hier oder hier).

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Hallo AnnaKath,
2021-05-13 11:50 - AnnaKath in Beitrag No. 25 schreibt:
Wir betrachten im Folgenden eine Indexmenge $I\neq\emptyset$ und eine Familie von messbaren Räumen $(\Omega_i, \mathcal{A}_i)_{i\in I}$. Die endlichen Teilmengen von $I$ bezeichnen wir mit $F(I)$. Geben wir uns nur für jedes $J\in F(I)$ ein W'Maß $P_J \in \mathbb{R}^J$ vor, so wollen wir zeigen, dass es einen stochastischen Prozess gibt, dessen endlichdimensionale Verteilungen gerade die $P_J$ sind.
Was bedeutet $\mathbb{R}^J$ ?
Menge der Abbildungen von J nach $\mathbb{R}$ ?
Wenn $I = \mathbb{N}$, dann könnte man J={1,2} wählen.
$P_J$ könnte man dann z.B. als (3,14; 15,7) wählen. Das ergibt aber keinen Sinn?
Ein W'Maß ist doch auf einer Sigmaalgebra definiert.



Des Weiteren nennen wir einen messbaren Raum $(A, \mathcal{A})$ einen Standard-Raum, wenn es einen kompakten metrischen Raum $C$ (versehen mit der Borel'schen $\sigma$-Algebra) gibt, so dass eine bijektive Abbildung $f:A\rightarrow C$ existiert, so dass $f$ und $f^{-1}$ messbar sind.
Konkret in meinem Beispiel wäre A=[0,1] und $\mathcal{A}$ = die Borelschen Mengen auf [0,1].
Und für C würde ich setzen: C := A
und f := id
Dann ist $(A, \mathcal{A})$ ein Standardraum.

Was meinst du dazu ?


mfg
cx





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2021-05-16


Huhu Carlox,

2021-05-16 13:45 - carlox in Beitrag No. 27 schreibt:
Was bedeutet $\mathbb{R}^J$ ?
Menge der Abbildungen von J nach $\mathbb{R}$ ?
Wenn $I = \mathbb{N}$, dann könnte man J={1,2} wählen.
$P_J$ könnte man dann z.B. als (3,14; 15,7) wählen. Das ergibt aber keinen Sinn?
Ein W'Maß ist doch auf einer Sigmaalgebra definiert.
Du hast recht, ich habe mich verschrieben (und des vorherigen Post nun editiert). Es muss heissen: Ein W'Maß auf $\mathbb{R}^J$ (und nicht Element dieses Raumes). Und natürlich sind damit reellwertige Funktionen auf $J$ gemeint.


Konkret in meinem Beispiel wäre A=[0,1] und $\mathcal{A}$ = die Borelschen Mengen auf [0,1].
Und für C würde ich setzen: C := A und f := id
Dann ist $(A, \mathcal{A})$ ein Standardraum.
Natürlich ist das richtig; Dein Beispielraum ist bereits ein solcher Standardraum, da muss man keine Magie mehr walten lassen :)

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Hallo AnnaKath,
2021-05-16 13:53 - AnnaKath in Beitrag No. 28 schreibt:
Huhu Carlox,
1)
2021-05-16 13:45 - carlox in Beitrag No. 27 schreibt:
Was bedeutet $\mathbb{R}^J$ ?
Menge der Abbildungen von J nach $\mathbb{R}$ ?
Wenn $I = \mathbb{N}$, dann könnte man J={1,2} wählen.
$P_J$ könnte man dann z.B. als (3,14; 15,7) wählen. Das ergibt aber keinen Sinn?
Ein W'Maß ist doch auf einer Sigmaalgebra definiert.
Du hast recht, ich habe mich verschrieben (und des vorherigen Post nun editiert). Es muss heissen: Ein W'Maß auf $\mathbb{R}^J$ (und nicht Element dieses Raumes). Und natürlich sind damit reellwertige Funktionen auf $J$ gemeint.
Ein W'Maß auf $\mathbb{R}^J$
Ein W'Maß muß doch auf einer Sigmaalgebra definiert sein.
$\mathbb{R}^J$ ist doch aber keine Sigmaalgebra.
Wähle J={1}. Dann ist ${R}^J$ die Menge aller Abbildungen von
{1} nach $\mathbb{R}$, was man mit $\mathbb{R}$ identifizieren kann, oder wo denke ich da falsch ?

2)

SATZ:
Für eine Indexmenge $I\neq\emptyset$ und einer Familie $(\Omega_i, \mathcal{A}_i)_{i\in I}$ von Standardräumen und einer konsistenten Familie $(P_J)_{J \in F(I)}$ von Wahrscheinlichkeitsmaßen existiert genau ein Warscheinlichkeitsmaß $P$ auf $(\prod_{i\in I} \Omega_i, \bigotimes_{i\in I} \mathcal{A}_i)$ mit $P \circ \pi_{IJ}^{-1} = P_J$.

Auf welchen Sigmaalgebren sind die $(P_J)_{J \in F(I)}$ definiert?



mfg
cx



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16



SATZ:
Für eine Indexmenge $I\neq\emptyset$ und einer Familie $(\Omega_i, \mathcal{A}_i)_{i\in I}$ von Standardräumen und einer konsistenten Familie $(P_J)_{J \in F(I)}$ von Wahrscheinlichkeitsmaßen existiert genau ein Warscheinlichkeitsmaß $P$ auf $(\prod_{i\in I} \Omega_i, \bigotimes_{i\in I} \mathcal{A}_i)$ mit $P \circ \pi_{IJ}^{-1} = P_J$.

Auf welchen Sigmaalgebren sind die $(P_J)_{J \in F(I)}$ definiert?
Vermutlich auf $\mathbb{R}^J$

In welchem Zusammenhang steht diese zu den $(\Omega_i, \mathcal{A}_i)_{i\in I}$

mfg
cx




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2021-05-16


Huhu Carlox,

halte Dich nicht nur mit Formalien auf, überlege bitte auch, was der SATZ aussagt...
Ich gebe zu, dass ich hier von Deinem konkreten Beispiel ausging. Wie muss die Sigma-Algebra denn aussehen?

Es ist natürlich $\bigotimes_{j \in J} \mathcal{A}_j$.
Das zugehörige $\prod_{j\in J} \Omega_j$ ist nicht notwendig ein Raum von Funktionen nach $\mathbb{R}$ (kann aber, da es sich um Standardräume handelt, als solcher aufgefasst werden).

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-19


Hallo AnnaKath,
habe den SATZ
------------------------------
Für eine Indexmenge $I\neq\emptyset$ und einer Familie $(\Omega_i, \mathcal{A}_i)_{i\in I}$ von Standardräumen und einer konsistenten Familie $(P_J)_{J \in F(I)}$ von Wahrscheinlichkeitsmaßen existiert genau ein Warscheinlichkeitsmaß $P$ auf $(\prod_{i\in I} \Omega_i, \bigotimes_{i\in I} \mathcal{A}_i)$ mit $P \circ \pi_{IJ}^{-1} = P_J$.
-------------------------------
von dir auf mein Beispiel angewendet:

$I=\{1,2\}$ mit den 2 WK-Räumen
$(\Omega_1, \mathcal{A_1}, P_{\{1\}})$ und
$(\Omega_2, \mathcal{A_2}, P_{\{2\}})$ mit
$\Omega_1=[0,1]$
$\Omega_2=[0,1]$
$\mathcal{A}_1=\mathcal{B} \cap [0,1]$
$\mathcal{A}_2=\mathcal{B} \cap [0,1]$
und den konsistenten WK-Maßen $P_{\{1,2\}}, P_{\{1\}}, P_{\{2\}}$ mit:
$P_{\{1\}} : \mathcal{A_1} \rightarrow [0,1]$
$P_{\{1\}} : \mathcal{A_2} \rightarrow [0,1]$
$P_{\{1,2\}} : \mathcal{A_1} \bigotimes \mathcal{A_2} \rightarrow [0,1]$   (*)

Für die konsistente WK-Maße $P_{\{1,2\}}, P_{\{1\}}, P_{\{2\}}$ muß per Definition  gelten:
$P_{\{1,2\}} \circ \pi_{\{1,2\}\{1\}}^{-1}=P_{\{1\}}$, also gilt z.B. für alle $0 \leq a \leq 1$:
$P_{\{1,2\}} \circ \pi_{\{1,2\}\{1\}}^{-1}([0,a])=P_{\{1,2\}}([0,a]\times [0,1])=P_{\{1\}}([0,a])$
und analog:
$P_{\{1,2\}} \circ \pi_{\{1,2\}\{2\}}^{-1}=P_{\{2\}}$, also gilt z.B. für alle $0 \leq b \leq 1$:
$P_{\{1,2\}} \circ \pi_{\{1,2\}\{2\}}^{-1}([0,b])=P_{\{1,2\}}([0,1]\times [0,b])=P_{\{2\}}([0,b])$

Nach dem SATZ gibt es dann ein WK-Maß P auf $\mathcal{A}_1 \bigotimes \mathcal{A}_2$ mit:
$P \circ \pi_{\{1,2\}\{1\}}^{-1}=P_{\{1\}}$ und
$P \circ \pi_{\{1,2\}\{2\}}^{-1}=P_{\{2\}}$ und
$P \circ \pi_{\{1,2\}\{1,2\}}^{-1}=P_{\{1,2\}}$
Es gilt aber:
$\pi_{\{1,2\}\{1,2\}}^{-1}=id$, also folgt: $P=P_{\{1,2\}}$

Problem:
Man muß also (siehe (*)) schon ein WK-Maß auf $\mathcal{A_1} \bigotimes \mathcal{A_2}$ angeben, um nachher die Existenz eines WK-Maß auf $\mathcal{A_1} \bigotimes \mathcal{A_2}$ behaupten zu können?
Das verstehe ich nicht, denn wenn ich ein WK-Maß auf $\mathcal{A_1} \bigotimes \mathcal{A_2}$ angebe, habe ich dessen Existenz auf $\mathcal{A_1} \bigotimes \mathcal{A_2}$ ja schon bewiesen.
Das verwirrt mich.
Was habe ich da falsch verstanden ?

mfg
cx





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3523
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2021-05-21 18:02


Huhu carlox,

in deinem einfachen Fall sagt der SATZ Dir nur, dass Du tatsächlich die Randverteilungen durch Projektionen der gemeinsamen Verteilung erhältst; dies kann man natürlich auch anders zeigen.

Die Kraft des Satzes liegt darin, dass Du im Allgemeinen keineswegs bereits das "gesuchte" Maß angeben musst; es reicht alle endlichen Randverteilungen zu kennen.

Zu Deinen konkreten Rechnungen werde ich nichts sagen: Ich habe dargelegt, dass es meiner Ansicht nach nicht zielführend ist, konkrete W'Räume anzugeben. Wenn Du dies weiterhin tun magst, dann sei Dir das natürlich unbenommen.

Die einzige "beobachtbaren" Dinge sind Zufallsvariablen und deren Verteilungen.
Konkretes Rechnen kann und sollte mit Verteilungsfunktionen und Copulae geschehen.

lg, AK



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
carlox wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]