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Universität/Hochschule Metriken
Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-26


Folgende Aufgabe:

Sei (M,d) ein Metrischer Raum mit d(x,y) = || x-y ||. Finde Sie eine weitere Metrik k, die nicht von einer Norm induziert ist, so dass die Umgebungen bezüglich dieser Metriken die selben sind wie bezüglich d.

Ich habe schon beim Verständnis der Aufgabe große Probleme. Erst einmal setzt die Aufgabe nur voraus, dass M,d ein metrischer Raum ist, aber d wird von einer Norm induziert, also muss doch M ein normierter Vektorraum sein (sonst ergibt der erste Satz ja überhaupt keinen Sinn).
Nun soll ich eine weitere Metrik finden, die nicht von einer Norm induziert wird. Aber ist das in dieser Allgemeinheit überhaupt möglich ? Ich meine ich weiß, dass z.B die diskrete Metrik auf dem R^n nicht von einer Norm induziert werden kann, aber es könnte ja sein, dass sie auf einem anderen VR von einer Metrik induziert wird (z.B auf dem Nullraum).
Allgemein finde ich die Aussage problematisch. Wenn ich mir den Nullraum anschaue, habe ich ja nur ein Element und es muss d(0,0)= 0 sein und die Norm von 0 muss 0 sein (für jede Norm und für jede Metrik), d.h es gibt nur eine Norm und nur eine Metrik auf dem Nullraum und damit wird jede Metrik von einer Norm induziert.  
Die weitere Unklarheit, ist der Satz sodass die Umgebungen bzgl. dieser Metrik die selben sind wie bezüglich d. Was soll das heißen, dass jede Umgebung von einem Punkt x bzgl d auch eine Umgebung bzgl x in der anderen Metrik ist und umgekehrt ? (heißt das nicht einfach, dass die offenen Mengen die gleichen sein müssen ? )

vielleicht versteht ja jemand die Aufgabe besser als ich..



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-26


Hallo,

nimm eine Funktion $f\colon [0,\infty)\to [0,\infty)$ mit guten Eigenschaften, dann ist auch
\[\tilde d\colon M\times M\to [0,\infty),\ (x,y)\mapsto f(d(x,y))\] eine Metrik, aber nicht mehr eine Norm.
Für die Wahl von $f$ gibt es ganz viele Möglichkeiten.

Du hast aber recht. Vielleicht sollte man $|M|>1$ voraussetzen.



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Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-26


ok ich dachte an die parabel für f also erhalte ich eine neue Metrik k, für die gilt: k(x,y) = d(x,y) ^2. Das ist wieder eine Metrik, aber sie kann nicht induziert sein von einer Norm (das scheitert an der homogenität). Aber was ist nun gemeint, damit, dass alle Umgebungen bezüglich der einen Metrik die selben sind wie bezüglich der anderen. Soll das heißen, wenn U eine Umgebung von x bzgl d ist so ist U eine Umgebung von y bzgl. k ?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-26


Das funktioniert. Versuche es zu zeigen.



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Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05


lieber ochen, noch eine Frage dazu. Ich habe also die Metrik d und möchte zeigen dass l(x,y) = d(x,y)^2 eine Metrik ist, die nicht von einer Norm kommt. Ich habe Probleme bei der Dreiecksungleichung

l(x,y) = d(x,y)^2 <= (d(x,z)+d(z,y))^2 = d(x,z)^2 + 2*d(x,z)d(z,y)+d(z,y)^2 und das ist doch mit sicherheit nicht kleiner als d(x,z)^2 + d(z,y)^2 (es ist sogar größer gleich). Also ist das doch gar keine Metrik oder ?




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-05


Hm, ja, vielleicht habe ich mich geirrt und $f(x)=x^2$ funktioniert doch nicht. Probier mal
\[f(x)=\frac{x}{1+x}\]



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