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Physik » Elektrodynamik » Maxwell-Gleichung
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Universität/Hochschule J Maxwell-Gleichung
MalibuRazz
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  Themenstart: 2021-04-30

Hallo, ich habe noch einige Probleme mit mehrdimensionalen Funktionen und Variablen: Ich soll zeigen, dass $E,B: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3, E=E(x,t), B=B(x,t)$ mit $div_xE = 0$, $div_xB=0$, $\frac{\partial E}{\partial t} = curl_x B, \frac{\partial B}{\partial t} = - curl_x E$ die Wellengleichungen $\partial_t^2E - \Delta E = 0$ und $\partial_t^2B - \Delta B = 0$ erfüllen. Ich habe schonmal etwas berechnet, wobei ich mir nicht sicher bin, ob das so stimmt: $div_xE(x,t) = \frac{\partial}{\partial x_1} E_1(x,t) + \frac{\partial}{\partial x_2} E_2(x,t) + \frac{\partial}{\partial x_3}E_3(x,t) = 0$ und analog für $B$, $\partial_t^2 E = \partial_t \partial_t E = \partial_t (curl_xB) = \Delta E$ mit $curl_x B= \left( \begin{array}{ccc} \partial_{x_2}B_3(x,t) - \partial_{x_3}B_2(x,t)\\ \partial_{x_3}B_1(x,t) - \partial_{x_1}B_3(x,t) \\ \partial_{x_1}B_2(x,t) - \partial_{x_2}B_1(x,t) \\ \end{array} \right)$, oder? Nun weiß ich leider nicht weiter, z.B. wie ich $\Delta E$ berechnen kann (ist ja gerade die Divergenz des Gradienten), da $E,B$ ja von $x\in \mathbb{R}^3, t \in \mathbb{R}$ abhängen... ich bitte um Hilfe, danke im Voraus!


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-30

Wenn du nacheinander die beiden Zeitableitungen ausrechnest, kommst du auf$$ \partial_t^2 E = \partial_t(\operatorname{curl}B) = \operatorname{curl}(\partial_tB) = -\operatorname{curl}\operatorname{curl}E \;. $$Jetzt musst du entweder wissen oder nachrechnen, dass$$ \operatorname{curl}\operatorname{curl} = \operatorname{grad}\operatorname{div}-\Delta$$ist. \quoteon(2021-04-30 18:39 - MalibuRazz im Themenstart) Nun weiß ich leider nicht weiter, z.B. wie ich $\Delta E$ berechnen kann (ist ja gerade die Divergenz des Gradienten), da $E,B$ ja von $x\in \mathbb{R}^3, t \in \mathbb{R}$ abhängen... \quoteoff $\Delta=\operatorname{div}\operatorname{grad}$ gilt nur für die Anwendung auf skalare Felder. $\Delta=\partial_{x_1}^2+\partial_{x_2}^2+\partial_{x_3}^2$ gilt aber immmer. Bei der Anwedung von $\Delta$ auf $E$ und $B$ spielt das Argument $t$ nur die Rolle eines Parameters. Differenziert wird ausschließlich nach $x$. --zippy


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MalibuRazz
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-30

Danke für deine Hilfe! \quoteon $\partial_t(\operatorname{curl}B) = \operatorname{curl}(\partial_tB)$ \quoteoff Gilt das nach der Regel von Schwarz? (diese erlaubt ja das Vertauschen der Reihenfolge von partiellen Differentiationen bei differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen) \quoteon $\operatorname{curl}\operatorname{curl} = \operatorname{grad}\operatorname{div}-\Delta$ \quoteoff Das war der erste Teil der Aufgabe, den hab ich bewiesen bekommen :) Also komme ich auf $\partial_t^2 E = \Delta E - \operatorname{grad}\operatorname{div}E$. Ich weiß ja nur, dass $\operatorname{div}_xE = 0$ ist, also nach $x$ differenziert, dann ist ja auch der Gradient davon $0$, oder? Was weiß ich denn über $\operatorname{div}E$?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-30

\quoteon(2021-04-30 19:24 - MalibuRazz in Beitrag No. 2) Gilt das nach der Regel von Schwarz? \quoteoff Ja, das ist die Grundlage für diese Vertauschbarkeit von $\partial_t$ mit $\operatorname{curl}$, $\operatorname{div}$ und $\operatorname{grad}$. \quoteon(2021-04-30 19:24 - MalibuRazz in Beitrag No. 2) Ich weiß ja nur, dass $\operatorname{div}_xE = 0$ ist, also nach $x$ differenziert, dann ist ja auch der Gradient davon $0$, oder? \quoteoff Richtig. \quoteon(2021-04-30 19:24 - MalibuRazz in Beitrag No. 2) Was weiß ich denn über $\operatorname{div}E$? \quoteoff Du scheinst davon auszugehen, dass es einen Unterschied zwischen $\operatorname{div}_xE$ und $\operatorname{div}E$ gibt. Das sind aber nur zwei Bezeichnungen für denselben Operator.


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MalibuRazz
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-30

\quoteon(2021-04-30 19:34 - zippy in Beitrag No. 3) Du scheinst davon auszugehen, dass es einen Unterschied zwischen $\operatorname{div}_xE$ und $\operatorname{div}E$ gibt. Das sind aber nur zwei Bezeichnungen für denselben Operator. \quoteoff Achso okay, super. Danke für deine Hilfe!


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