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Analysis » Stetigkeit » Lipschitz stetig gdw Ableitung beschränkt
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Universität/Hochschule Lipschitz stetig gdw Ableitung beschränkt
Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-03


Hallo,
ich suche momentan einen Beweis für die Aussage, dass eine Vektorwertige Funktion  \(F: M \rightarrow N; M \subset \mathbb{R}^n, N \subset \mathbb{R}^m\)genau dann Lipschtz stetig ist, wenn Ihre Jakobi Matrix in der Norm beschränkt ist. Die Lipschitz Konstante ist ja dann gerade das Supremum der Norm der Jakobi Matrix.

Habt ihr eine Idee, wie man diesen Beweis angehen kann? Oder eine Literaturempfehlung wo man dies nachlesen kann?
LG



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03


Beziehungsweise lautet meine eigentliche Frage, kann man bei dieser Aussage auf die Konvexität des Definitionsbereich verzichten? Für diesen Falle kenne ich nämlich einen Beweis.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03


Ich bin mir mittlerweile ziehmlich sicher, dass man an \(M\) die Konvexität als Bedingung stellen muss, weiters muss klar sein dass das Supremum der Ableitung auch wirklich existiert.

Kennt jemand ein Gegenbeispiel, wo das ohne die Voraussetzung der Konvexität etwas schiefgeht?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-04


Hallo Nullring,

wie wäre es mit der Abbildung
\[f\colon\bigcup_{n=0}^\infty(n,n+1)\to\mathbb{R}, f(x):=n^2, x\in(n,n+1)?\] Diese Funktion ist differenzierbar, ihre Ableitung ist konstant \(0\), also insbesondere beschränkt. Du kannst Dir aber leicht überlegen, dass \(f\) nicht Lipschitz-stetig ist.

Wegen der fehlenden Konvexität kannst Du den Mittelwertsatz nicht anwenden. Die Umkehrung, also dass jede partiell differenzierbare Lipschitz-stetige Funktion eine beschränkte Jacobi-Matrix hat, sollte aber immer noch gelten, da alle Differenzenquotienten durch die Lipschitz-Konstante beschränkt sind.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


2021-05-04 02:58 - sonnenschein96 in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo Nullring,

wie wäre es mit der Abbildung
\[f\colon\bigcup_{n=0}^\infty(n,n+1)\to\mathbb{R}, f(x):=n^2, x\in(n,n+1)?\] Diese Funktion ist differenzierbar, ihre Ableitung ist konstant \(0\), also insbesondere beschränkt. Du kannst Dir aber leicht überlegen, dass \(f\) nicht Lipschitz-stetig ist.

Wegen der fehlenden Konvexität kannst Du den Mittelwertsatz nicht anwenden. Die Umkehrung, also dass jede partiell differenzierbare Lipschitz-stetige Funktion eine beschränkte Jacobi-Matrix hat, sollte aber immer noch gelten, da alle Differenzenquotienten durch die Lipschitz-Konstante beschränkt sind.

Diese Funktion ist nicht stetig oder, der Grenzwert von x gegen 1 von unten ist 0, aber der von oben ist 1.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


2021-05-17 20:14 - Nullring in Beitrag No. 4 schreibt:
2021-05-04 02:58 - sonnenschein96 in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo Nullring,

wie wäre es mit der Abbildung
\[f\colon\bigcup_{n=0}^\infty(n,n+1)\to\mathbb{R}, f(x):=n^2, x\in(n,n+1)?\] Diese Funktion ist differenzierbar, ihre Ableitung ist konstant \(0\), also insbesondere beschränkt. Du kannst Dir aber leicht überlegen, dass \(f\) nicht Lipschitz-stetig ist.

Wegen der fehlenden Konvexität kannst Du den Mittelwertsatz nicht anwenden. Die Umkehrung, also dass jede partiell differenzierbare Lipschitz-stetige Funktion eine beschränkte Jacobi-Matrix hat, sollte aber immer noch gelten, da alle Differenzenquotienten durch die Lipschitz-Konstante beschränkt sind.

Hast Recht. Danke!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-17


Beachte, dass die natürlichen Zahlen nicht im Definitionsbereich enthalten sind. Die Funktion lässt sich lediglich nicht stetig auf \((0,\infty)\) fortsetzen, das war aber auch nicht die Frage.



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