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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Funktionenfolge punktweise f mit ungleichem Lebesgue-Integral
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Universität/Hochschule J Funktionenfolge punktweise f mit ungleichem Lebesgue-Integral
LehramtsStudi2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-04 13:17


Hallo :)

Entschuldigung erstmal für den etwas unpräzisen Titel der Frage.

Im Grunde genommen habe ich wieder eine Frage zum Skriptum einer Vorlesung.

Dort wird gesagt, dass es Funktionenfolgen fn von [0,1] nach R gibt, die punktweise einer Funktion f von [0,1] nach R entsprechen. Zusätzlich soll der Grenzwert der Lebesgue-Integrale von fn von n gegen unendlich ungleich dem Lebesgue-Integral von f sein.

Also \(\lim_{n \to \infty} \int_{}^{} f_n \,dµ \neq \int_{}^{} f \,dµ\).

Leider sind aber keine Beispiele dafür genannt. Wie könnte die Funktionenfolge bzw f beispielsweise aussehen?


Liebe Grüße und danke schonmal



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-04 13:28

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Hallo LehramtsStudi2016,

ein Beispiel dafür wäre eine Folge von Funktionen, deren Graphen Rechtecke sind, die zwar immer schmaler, aber dafür auch immer höher werden, sodass die Folge der Lebesgueintegrale konstant ist. Ein konkretes Beispiel:

Sei $I_n:=(0,\frac{1}{n})$. Dann konvergiert die Folge $f_n=n\chi_{I_n}$ mit den charakteristischen Funktionen $\chi_{I_n}$ der Intervalle $I_n$ punktweise gegen die Nullfunktion. Ihre Lebesgueintegrale sind aber allesamt 1, im Gegensatz zu dem der Nullfunktion, welches 0 ist.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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LehramtsStudi2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-04 17:07


Vielen Dank :)



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