Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Funktionenfolge punktweise f mit ungleichem Lebesgue-Integral
Autor
Universität/Hochschule J Funktionenfolge punktweise f mit ungleichem Lebesgue-Integral
LehramtsStudi2016
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.10.2020
Mitteilungen: 16
  Themenstart: 2021-05-04

Hallo :) Entschuldigung erstmal für den etwas unpräzisen Titel der Frage. Im Grunde genommen habe ich wieder eine Frage zum Skriptum einer Vorlesung. Dort wird gesagt, dass es Funktionenfolgen fn von [0,1] nach R gibt, die punktweise einer Funktion f von [0,1] nach R entsprechen. Zusätzlich soll der Grenzwert der Lebesgue-Integrale von fn von n gegen unendlich ungleich dem Lebesgue-Integral von f sein. Also \(\lim_{n \to \infty} \int_{}^{} f_n \,dµ \neq \int_{}^{} f \,dµ\). Leider sind aber keine Beispiele dafür genannt. Wie könnte die Funktionenfolge bzw f beispielsweise aussehen? Liebe Grüße und danke schonmal


   Profil
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1265
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Hallo LehramtsStudi2016, ein Beispiel dafür wäre eine Folge von Funktionen, deren Graphen Rechtecke sind, die zwar immer schmaler, aber dafür auch immer höher werden, sodass die Folge der Lebesgueintegrale konstant ist. Ein konkretes Beispiel: Sei $I_n:=(0,\frac{1}{n})$. Dann konvergiert die Folge $f_n=n\chi_{I_n}$ mit den charakteristischen Funktionen $\chi_{I_n}$ der Intervalle $I_n$ punktweise gegen die Nullfunktion. Ihre Lebesgueintegrale sind aber allesamt 1, im Gegensatz zu dem der Nullfunktion, welches 0 ist. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


   Profil
LehramtsStudi2016
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.10.2020
Mitteilungen: 16
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-04

Vielen Dank :)


   Profil
LehramtsStudi2016 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LehramtsStudi2016 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]