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Analysis » Topologie » metrischer Raum
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Universität/Hochschule J metrischer Raum
schranco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-05


Hallo,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:Es sei (M, d) ein metrischer Raum mit der Eigenschaft, dass die einpunktige Menge {x} für alle
x ∈ M offen ist. Beweisen Sie, dass alle Teilmengen von M gleichzeitig offen und abgeschlossen sind.

ich will zeigen, dass dieser metrischer Raum ist ein sogenannter diskrete metrischer Raum, weil jede Teilmenge von so einem Raum ist offen und abgeschlossen. Ich weiss nicht, wie ich das zeigen soll.


 



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-05


Hallo schranco und Willkommen.

Diese Aufgabe kannst du auch sicher einfacher lösen. Was kann man denn über Vereinigungen offener Mengen sagen und wie kann man jede Teilmenge von \(M\) als solche darstellen?



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schranco
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05


Hallo Kampfpudel
die Vereinigungen von offener Mengen sind auch offen
aber weiss nicht wie ich die Teilmenge von M in dieser Forme darstellen kann.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-05


2021-05-05 20:28 - schranco in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Kampfpudel
die Vereinigungen von offener Mengen sind auch offen
aber weiss nicht wie ich die Teilmenge von M in dieser Forme darstellen kann.
Sei $A\subseteq M$ beliebig. Sicherlich gilt immer
$$ A=\bigcup_{x\in A} \lbrace x \rbrace.
$$ Da $\lbrace x\rbrace$ für jedes $x\in M$ nach Voraussetzung offen ist und beliebige Vereinigungen offener Mengen offen sind, ist $A$ offen. Da $A$ beliebig war ist also jede Teilmenge von $M$ offen. Andererseits ist für jede Teilmenge $A\subseteq M$ auch $M\setminus A\subseteq M$. Da jede Teilmenge von $M$ offen ist, ist auch das Komplement jeder Teilmenge von $M$ offen und damit jede Teilmenge von $M$ auch abgeschlossen.

LG Nico



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