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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » System von Differentialgleichungen, periodische Koeffizienten
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Universität/Hochschule System von Differentialgleichungen, periodische Koeffizienten
guenterH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-06


Gibt es eine symbolische Lösung für das Differentialgleichungssystem
fed-Code einblenden
?
(Als Anfangsbedingung kann beispielsweise fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
verwendet werden.)
Habe mit gegebenen Zahlenwerten für g, c und omega numerische Näherungen gewonnen, doch eine symbolische Lösung wäre für das Verständnis der zugrundeliegenden Erscheinung weitaus geeigneter. Leider war ich bislang erfolglos auf der Suche. Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus!



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-06


Hallo

Ich würde die zweite Gleichung differenzieren, dann kann man schon mal y3 beseitigen.

Gruß Caban



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guenterH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Vielen Dank zunächst.
Ich hatte nicht erwähnt, dass ich mit verschiedenen Umstellungen ein System von zwei Variablen erzeugen konnte - aber leider stets mit dem Ergebnis, dass das nunmehrige 2er System eine DGl von zweiter Ordnung enthält, wiederum mit nichtkonstanten Koeffizienten. Von hier aus bin ich ebenfalls nicht weitergekommen. Auch eine einzelne DGl dritter Ordnung ließ sich erzeugen, aber gleiche Situation.
Gruß
guenterH.



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guenterH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Der genannte Vorschlag liefert:
fed-Code einblenden
Liebe(r) Caban, das Problem scheint sich nur anders darzustellen.🤔
Die zweite DGl nach y_1 aufgelöst und differenziert gibt die Möglichkeit, durch Einsetzen der ersten DGl eine einzelne DGl zu erzeugen, jetzt aber dritter Ordnung und mit bizarren Koeffizienten.
Also besteht mein Hilferuf weiter ...



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-06


Hallo guenterH,
$$\begin{align}
\dot y_1&=-y_2c\cos\omega t\\
\dot y_2&=y_1c\cos\omega t-gy_3\\
\dot y_3&=gy_2
\end{align}$$Wir multiplizieren (1) mit $y_1$, (2) mit $y_2$, und addieren die beiden Gleichungen:
$$\begin{align}
\dot y_1y_1+\dot y_2y_2&=-gy_2y_3
\end{align}$$Wir setzen (3) in (4) ein:
$$\begin{align}
\dot y_1y_1+\dot y_2y_2&+\dot y_3y_3=0
\end{align}$$Einmal integrieren:
$$\begin{align}
y_1^2+y_2^2+y_3^2=R^2
\end{align}$$Betrachtet man $y_1$, $y_2$ und $y_3$ als dreidimensionale Koordinaten eines Punktes, bewegt sich dieser auf einer Kugeloberfläche, deren Radius ich hier mal $R$ genannt habe. Geht es hier evtl. um ein Pendel, dessen Gewicht sich dreidimensional bewegen kann und irgendwie periodisch angeregt wird?
Für heute erst mal Schluss mit lustig, morgen werde ich weiter drüber nachdenken.

Ciao,

Thomas



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guenterH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Hallo Thomas,
hier handelt es sich um die zeitliche Entwicklung dreier Elemente einer Dichtematrix. Diese soll hier benutzt werden, um für ein Kernresonanz-Experiment mit den Mitteln der Quantenstatistik das Verhalten eines Ensembles von Spin-Paaren zu ermitteln. c beschreibt die Stärke der Kopplung innerhalb eines Spinpaares und g die Wechselwirkung mit einem äußeren Hochfrequenzfeld. Der cos-Term kommt durch eine (vereinfachte) Modulation der Kopplungskonstanten infolge einer Rotation der Probe hinein. Ohne Letzteres wäre alles leicht lösbar.

Insbesondere interessiert mich y_1(t), weil dieses Element proportional zum messbaren Kernresonanzsignal ist. Für eine numerische Behandlung kann man das Floquet-Theorem nutzen, aber eine symbolische Lösung wäre doch ungleich vorteilhafter.

Gleichung (6) bedeutet, dass die Norm des Vektors {y_1, y_2, y_3} während der gesamten zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt! Die Spitze dieses Vektors bewegt sich demzufolge stets auf einer Kugelfläche. Interessant die Analogie zu einem Pendel mit einer modulierten rücktreibenden Kraft.

Dies lässt mich hoffen, dass doch eine symbolische Lösung gefunden werden kann. Vielen Dank erstmal!

Gruß
guenterH.




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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-07


Hallo Günter,
ich bin da ehrlich gesagt nicht so richtig optimistisch. Ich denke hier z.B. an ein Doppelpendel, welches ja chaotisches Verhalten zeigt, aber wir sind ja noch nicht am Ende..
Dadurch, dass sich $\vec y$ auf einer Kugeloberfläche bewegt, steht fest, dass die Komponenten des Vektors jeweils auf das Intervall $[-R,R]$ beschränkt sind. Das ist ja auch schon einmal eine Erkenntnis. Dieser Kugelradius hängt auch nicht von den Größen $c$, $g$ und $\omega$ ab, sondern nur von den Anfangsbedingungen. In Deinem Beispiel wäre z.B. $R=1$.
Eine Möglichkeit wäre nun, da $\vec y$ eine Kugel beschreibt, in Kugelkoordinaten zu wechseln. Dann hätten wir das System elegant um eine Dimension reduziert, aber das habe ich noch nicht weiterverfolgt.
Für den Moment habe ich erst einmal betrachtet, was passiert, wenn man bestimmte Größen null setzt. Dann kann man aus der sich ergebenden Lösung Rückschlüsse auf die vollständige Lösung ziehen.
$\omega=0$ (unendlich langsame Modulation) ist einfach. Dann lautet die Gleichung einfach
$$\ddot y_1+(c^2+g^2)y_1=k_1\tag7$$Sprich: Sinus-Kurve. $y_2$ und $y_3$ phasenverschoben, so dass sie gemeinsam auf der Kugel auf einem Großkreis rotieren mit der Frequenz $\Omega=\sqrt{c^2+g^2}$.
Spannender wird es bei $g=0$. Dann fällt $y_3$ aus dem System raus, und es reduziert sich zu einem ebenen Kreis in der $y_1y_2$-Ebene:
$$\begin{align}
\dot y_1&=-y_2c\cos\omega t\tag1\\
\dot y_2&=y_1c\cos\omega t\tag8
\end{align}$$Mit $y_3=0$ gilt $y_1^2+y_2^2=R^2$ bzw. $y_2=\pm\sqrt{R^2-y_1^2}$. Setzen wir das in Gleichung (1) ein, folgt daraus:
$$\pm\frac{\dot y_1}{\sqrt{R^2-y_1^2}}=c\cos\omega t\tag9$$Das kann man integrieren:
$$\pm\arcsin\frac{y_1}R=\frac c\omega\sin\omega t+k_2\tag{10}$$Auflösen nach $y_1$:
$$y_1=\pm R\sin\left(\frac c\omega\sin\omega t+k_2\right)\tag{11}$$und mit Gleichung (1):
$$y_2=\mp R\cos\left(\frac c\omega\sin\omega t+k_2\right)\tag{12}$$Sinus im Sinus. Da wir nun $g$ und damit $y_3$ ignoriert haben, wird die vollständige und allgemeine Lösung für $g\neq0$ nur noch komplizierter als das. Ich bin noch nicht sicher, was zielführender ist: Diese Lösung zu variieren, oder das Thema mit den Kugelkoordinaten weiterzuverfolgen. Auch das hier ist noch ein Zwischenstand.

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-08


... Fortsetzung:
Die Aussicht verdüstert sich gerade. Ich habe mal die Variante mit den Kugelkoordinaten weiterverfolgt:
$$\begin{align}
y_1&=R\cos\varphi\cos\delta\tag{13}\\
y_2&=R\sin\varphi\cos\delta\tag{14}\\
y_3&=R\sin\delta\tag{15}
\end{align}$$Alles einmal ableiten:
$$\begin{align}
\dot y_1&=-R\dot\varphi\sin\varphi\cos\delta-R\dot\delta\cos\varphi\sin\delta\tag{16}\\
\dot y_2&=R\dot\varphi\cos\varphi\cos\delta-R\dot\delta\sin\varphi\sin\delta\tag{17}\\
\dot y_3&=R\dot\delta\cos\delta\tag{18}
\end{align}$$Wir setzen (14) und (18) in (3) ein:
$$R\dot\delta\cos\delta=Rg\sin\varphi\cos\delta\tag{19}$$$R$ muss rausfallen, aber auch $\cos\delta$ kann man streichen:
$$\dot\delta=g\sin\varphi\tag{20}$$Chic! Wir setzen nun (16) und (14) in (1) ein:
$$-R\dot\varphi\sin\varphi\cos\delta-R\dot\delta\cos\varphi\sin\delta=-Rc\sin\varphi\cos\delta\cos\omega t\tag{21}$$Wir teilen durch $-R$ und setzen (20) ein, um $\dot\delta$ loszuwerden:
$$\dot\varphi\sin\varphi\cos\delta+g\sin\varphi\cos\varphi\sin\delta=c\sin\varphi\cos\delta\cos\omega t\tag{22}$$Wir können durchgängig $\sin\varphi$ streichen:
$$\dot\varphi\cos\delta+g\cos\varphi\sin\delta=c\cos\delta\cos\omega t\tag{23}$$Wir könnten noch (13), (15) und (17) in (2) einsetzen, aber das führt am Ende auch wieder nur auf die Gleichung (23). Wir lösen (20) nach $\varphi$ auf:
$$\varphi=\arcsin\frac{\dot\delta}g\tag{24}$$Einmal ableiten:
$$\dot\varphi=\frac{\ddot\delta}{\sqrt{g^2-\dot\delta^2}}\tag{25}$$(24) und (25) können wir in (23) einsetzen:
$$\frac{\ddot\delta}{\sqrt{g^2-\dot\delta^2}}\cos\delta+\sqrt{g^2-\dot\delta^2}\sin\delta=c\cos\delta\cos\omega t\tag{26}$$Hier kann vor der zweiten Wurzel auch ein Minus stehen, aber dann wäre die Lösung z.B. bei $\omega=0$ wahrscheinlich nicht periodisch. Wir vereinfachen noch ein bisschen, und haben $\varphi$ erfolgreich eliminiert, so dass wir nun eine gewöhnliche Differentialgleichung für eine Variable haben:
$$\ddot\delta+\left(g^2-\dot\delta^2\right)\tan\delta=c\sqrt{g^2-\dot\delta^2}\cos\omega t\tag{27}$$Aber vielversprechend ist anders.
Der oben behandelte Spezialfall $g=0$ führt bereits in Gleichung (23) zu
$$\dot\varphi=c\cos\omega t\tag{28}$$und in Gleichung (20) zu $\delta=\text{konstant}$, was $y_3=\text{konstant}$, aber nicht notwendigerweise auch $y_3=0$ erfordert. Das bedeutet, dass der Vektor $\vec y$ nicht, wie ich oben geschrieben habe, auf einem Großkreis rotiert, sondern auf irgendeinem Kreis um die $y_3$-Achse, abhängig von den Anfangsbedingungen - was immer das bedeuten mag.
Interessant ist, dass $\omega=0$ definitiv lösbar ist, siehe (7), aber die Gleichung (27) für $\omega=0$ auf den ersten Blick nicht lösbar erscheint. Ich bin daher noch nicht sicher, ob Kugelkoordinaten eine Sackgasse sind. Vielleicht muss man die Orientierung des Koordinatensystems noch anpassen.

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-08


... noch eine schnelle Ergänzung:
Multipliziert man (26) mit $\dot\delta$ (der Klassiker) und integriert (rechts partiell), folgt:
$$-\sqrt{g^2-\dot\delta^2}\cos\delta=c\sin\delta\cos\omega t+c\omega\int\sin\delta\sin\omega t\;\mathrm dt\tag{29}$$was erklärt, warum die Gleichung für $\omega=0$ lösbar ist, denn dann fällt das Integral rechts weg. Tut es aber nicht für $\omega\neq0$, so dass meine Hoffnung auf eine explizite Lösung weiter sinkt.

Ciao,

Thomas



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Das Beste, was man bisher hat, ist die Reduktion auf ein System mit zwei Differentalgleichungen

\(\begin{align}
\dot y_2&=-gy_2\pm \sqrt{1-y_2^2-y_3^2}\cos\omega t\\
\dot y_3&=gy_2
\end{align}\)

Eine Schwingungsgleichung mit einer Inhomogenität, deren Stärke von Amplitude und Ableitung bestimmt wird.

Eine explizite Lösung wird es nicht geben, und wenn, ist die so kompliziert, dass man nichts sieht.
Was man hier erhält, kann man vielleicht weiter auswerten, wenn man weiß, wonach man sucht.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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guenterH
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Habt vielen Dank für eure Bemühungen!

In Thomas' Spezialfällen finden sich Details wieder, die von physikalischer Seite her bekannt sind:

- Sind nur entweder c oder g ungleich null, d bedeutet dies einen oszillatorischen Austausch zwischen den durch y_1 und y_2 bzw. durch y_2 und y_3 beschriebenen Zuständen. Die Frequenzen kann man sich vorstellen als verursacht durch Magnetfelder, zu deren Stärke sie proportional sind.

- Sind c und g ungleich null, addieren sich die Oszillationsfrequenzen "pythagoräisch", was deshalb sinnvoll ist, weil beide Felder senkrecht aufeinander stehen.

- Die Sinus-im-Sinus-Funktion beschreibt ein frequenzmoduliertes Signal (wie in der analogen Rundfunktechnik), das diese Form besitzt, weil die für die Oszillation verantwortliche Kopplungskonstante c*cos(omega t) selbst oszilliert.

Es scheinen (hebbare) Singularitäten aufzutreten, wenn omega ein rationales Vielfaches von g ist. Dies habe ich heute bemerkt bei meinen Versuchen, das Ganze mittels Reihenentwicklung näherungsweise zu lösen; die Singularitäten kommen nur in bestimmten Entwicklungskoeffizienten vor, z.B. als
fed-Code einblenden
Das zeigt wohl nochmals, dass es sich hier evtl. um ein Problem handelt, für das es keine geschlossene Lösung geben kann, was Wally bereits anmerkte.

Viele Grüße
Günter.




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
MontyPythagoras
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Hallo zusammen,
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)2021-05-08 20:40 - Wally in Beitrag No. 9 schreibt:
Das Beste, was man bisher hat, ist die Reduktion auf ein System mit zwei Differentalgleichungen
\(\endgroup\)
Nun ja, (26) ist ja eine gewöhnliche DGL für nur eine Variable - aber vermutlich unlösbar. Eine andere Orientierung der Kugelkoordinaten hat auch zu nichts (besserem) geführt.
Ich habe in Geogebra (hier klicken) die Lösung mal numerisch programmiert. Die "rote" Achse in der 3D-Ansicht ist die $y_1$-Achse, die Kurve in der 2D-Grafik ist $y_1$, aufgetragen über $t$. Es sieht aus wie eine Überlagerung von Sinuskurven, aber das ist sicher nicht so einfach.
Also gut simulierbar, aber nicht explizit lösbar, ist meine Meinung.

Ciao,

Thomas



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