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Mathematik » Analysis » Norm nachweisen (unlösbar?)
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Universität/Hochschule Norm nachweisen (unlösbar?)
mrdydx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-06


Hallo.

Folgendes Problem: Wir haben einen Vektorraum \(X\) mit zwei Normen \(|| \cdot||_1\) und \(|| \cdot ||_2\) (damit sind keine p-Normen, sondern beliebige Normen auf \(X\) gemeint).

Es soll gezeigt werden, dass

\[|||x|||:= \left(||x||_1^4+3||x||_2^4\right)^{\frac{1}{4}}\]
für alle \(x\in X\) eine Norm auf \(X\) definiert.

Der kritische Teil ist das Normaxiom mit der Dreiecksungleichung nachzuweisen, der Rest ist klar.

Nichts will funktionieren. Seien erstmal \(x,y \in X\). Es muss also gezeigt werden, dass

\[|||x+y||| \leq |||x|||+|||y|||\]
gilt. Einfach die Definition einsetzen und dann jeweils nach oben mit den bereits vorhandenen Dreiecksungleichungen, die die beiden gegebenen Normen mitliefern, anwenden funktioniert nicht, die Abschätzung ist zu grob.

Aus Analysis 1 weiß man ja auch, dass \( \sqrt[n]{x+y} \leq \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y} \) gilt, wenn man das direkt versucht anzuwenden, ist man wohl auch wieder zu grob.

Irgendwelche dubiosen Aktionen mit binomischen Formeln erscheinen mir auch nicht sinnvoll und da das nur ein Teil von einer Teilaufgabe ist, vermute ich nicht, dass man das Pascalsche Dreieck ausgraben muss für die Aufgabe. Hab ich zwar schon versucht, aber erfolglos.

Das Problem scheint mir in der Definiton von der \(|||\cdot|||\) Norm zu liegen. Man hat halt diese Terme \(||x||_1^4\) und \(||x||_2^4\) und wenn man da was mit Dreiecksungleichung abschätzen will, ist man direkt zu grob wegen des hoch 4. Und man kriegt das ums Verrecken nicht weg, weil man außenrum ne vierte Wurzel hat.

Und die vierte Wurzel wegbekommen, indem man die zu zeigende Ungleichung mit 4 hoch nimmt und versucht diese zu zeigen, lässt auch noch zu viel übrig, als dass man direkt die Lösung dastehen hätte. (Hab auch versucht, die Ungleichung hoch 2 zu nehmen, aber da hat man auch wieder viele Mischterme, die man nicht einfach "wegabschätzen" kann).

Ist diese Aufgabe überhaupt lösbar mit den Mitteln aus Analysis 2? Außer Sackgassen habe ich noch nichts gesehen.

Danke für die Antworten.



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-06


Hallo mrdydx,

Mache dir klar, dass man die 3 in der Definition der Norm genausogut weglassen kann. Dann versuche beim Beweis der Dreiecksungleichung die Dreiecksungleichung einer bekannten Norm in $\mathbb{R}^2$ zu verwenden.

vG,
Fabi


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"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



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mrdydx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


2021-05-06 22:38 - Fabi in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo mrdydx,

Mache dir klar, dass man die 3 in der Definition der Norm genausogut weglassen kann. Dann versuche beim Beweis der Dreiecksungleichung die Dreiecksungleichung einer bekannten Norm in $\mathbb{R}^2$ zu verwenden.

vG,
Fabi

Hallo Fabi,

ich kenne keine Normen in \(\mathbb{R}^2\), die was von der Form \(\left(a^4+b^4\right)^{\frac{1}{4}} \) abschätzen können. Zumindest keine, bei denen es was bringt. Man schätzt immer direkt zu grob ab.

Im Moment glaube ich auch nicht, dass die Norm aus der Aufgabenstellung überhaupt die Normeigenschaften erfüllt, ich suche jetzt einfach ein Gegenbeispiel.




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-07


2021-05-07 08:46 - mrdydx in Beitrag No. 2 schreibt:
ich kenne keine Normen in \(\mathbb{R}^2\), die was von der Form \(\left(a^4+b^4\right)^{\frac{1}{4}} \) abschätzen können.

Du hast doch oben schon welche erwähnt:

2021-05-06 22:22 - mrdydx im Themenstart schreibt:
... p-Normen ...



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