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Universität/Hochschule J Klassischen Gauß aus allgemeinem Satz von Stokes
Cyborg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-07


Hallo, Leute!



Ich habe folgendes Problem:

Es gilt doch \(\displaystyle\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega\).

Sei \(v=(v_1,v_2,v_3)\) ein Vektorfeld von \(\mathbb{R}^3\) nach \(\mathbb{R}^3\).

Sei \(\omega=v_1\,dx_2\wedge dx_3+v_2\,dx_3\wedge dx_1+v_3\,dx_1\wedge dx_2\).

Dann gilt \(d\omega=\left(\dfrac{\partial v_1}{\partial \vartheta_1}+\dfrac{\partial v_2}{\partial \vartheta_2}+\dfrac{\partial v_3}{\partial \vartheta_3}\right)\, dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3=div(\vec{v})\, dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3\).

Sei das Volumen \(U\) gegeben durch \(\mu: Q\rightarrow U, (u,v,w)\mapsto(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\).

Dann gilt doch:

\[\displaystyle\int_U d\omega=\int_Q s^*(dw)=\int_Q div(\vec{v})(\mu(u,v,w))\cdot s^*(dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3)\]
Nun gilt:

\[s^*(dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3)=\det\left(
  \begin{array}{ccc}
    x_u & x_v & x_w \\
    y_u & y_v & y_w \\
    z_u & z_v & z_w \\
  \end{array}
\right)\,du\wedge dv\wedge dw\]
Also gilt:

\[\displaystyle\int_U d\omega=\int_Q div(\vec{v})(\mu(u,v,w))\cdot \det\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\,d(u,v,w)\]
Ich möchte jetzt die Transformationsformel anwenden:

\[\int_Q div(\vec{v})(\mu(u,v,w))\cdot\det\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\,d(u,v,w)=\int_{\mu(Q)}div(\vec{v})(x,y,z)\,d(x,y,z)
=\int_{U}div(\vec{v})(x,y,z)\,d(x,y,z)=\int_{U}div(\vec{v})\,dV\]
Das Problem ist, dass ich statt \(\left|\det\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\) nur \(\det\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\) stehen habe!!!

Wie kann ich das umgehen, dass ich keine Betragstriche um der Deteminante habe???

Sollte ich vielleicht fordern, dass der Diffeomorphismus \(\mu\) orientierungserhaltend ist?



Danke.



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FibreBundle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-08


Hallo!

Da sich niemand sonst meldet, probiere ich mal eine Antwort.

Sonderlich viel weiß ich auch nicht. Aber:

Ist es nicht so, dass Differentialformen generell eine Orientierung haben, wegen der Struktur des Dach-Produktes?

$\int\int f(x,y)dx\wedge dy = - \int \int f(x,y)dy\wedge dx$
 

Mehrfachintegrale wie $\int\int f(x,y)dxdy$ sind aber nicht orientiert, da ja der Satz von Fubini gilt.

$\int_x\int_y f(x,y)dydx = \int_y\int_x f(x,y)dxdy$.

Vielleicht hilft dir diese Überlegung weiter ....

LG,
FibreBundle



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-09


Hallo Cyborg,
in ähnliche Richtung ging auch meine Überlegung, ein Diffeomorphismus ist stetig invertierbar, deshalb kann die Determinante der Jakobimatrix nie Null werden, also hat die Determinante durchweg das gleiche Vorzeichen und das kann man vor die Betragsstriche ziehen.

Viele Grüße,
  Stefan



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Cyborg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15


Hallo!



Ich habe es rausgefunden, dank einer pdf aus dem Internet über google.

Aus der Tranformationsformel folgt:

\[\int_{\phi(U)}\omega=sign(\det\mu')\cdot\int_U\phi^*\omega\]


Danke euch beiden.



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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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