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Universität/Hochschule J Umformen von Binomialkoeffizienten
kaktusplanet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-07


Hallo, kann mir jemand helfen, wie ich die Gleichungen beweisen kann?
bzw. mir helfen kann wie die Umformungen sind?




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-07


Hallo und willkommen hier im Forum!

Zunächst einmal: was hast du dir denn selbst schon überlegt?
Die Aufgabe wird ja nicht vom Himmel gefallen sein? 😉

Die ersten beiden Identitäten könnte man versuchen, durch bloßes Anwenden der Definition nachzurechnen. Die Nr. 3 riecht nach vollständiger Induktion nach n.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Stochastik und Statistik' in Forum 'Binomialkoeffizienten' von Diophant]



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kaktusplanet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Habe zu 1. das hier:
fed-Code einblenden

Komme aber nicht weiter. Wollte  den Nenner bei beiden Seiten gleich haben um zusammenzufassen.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-07


Hallo,

zumindest die 2 und die 3 haben auch kombinatorische Interpretationen.

2021-05-07 14:45 - kaktusplanet in Beitrag No. 2 schreibt:
Habe zu 1. das hier:
\[
\begin{align*}
\frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-1-k)!} - \frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-k-2)!}
&= \frac{(n-1)!}{(k\cdot(k-1)!\cdot(n-k-1)!} - \frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot (n-k-2)!}
\end{align*}
\]
Komme aber nicht weiter. Wollte  den Nenner bei beiden Seiten gleich haben um zusammenzufassen.
Das sieht doch ganz gut aus. Was fehlt noch um die Nenner gleich zu machen?


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.2 begonnen.]



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kaktusplanet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Ich hätte jetzt den 2. Term mit k multipliziert aber wüsste nicht wie ich aus der -2 eine -1 machen könnte.



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-07


2021-05-07 14:47 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt:

zumindest die 2 und die 3 haben auch kombinatorische Interpretationen.


Die 1) kann man nach etwas Umformen auch kombinatorisch einsehen.

vG,
Fabi

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


-----------------
"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-07


Huhu,

2021-05-07 14:32 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Nr. 3 riecht nach vollständiger Induktion nach n.

LinkVollständige Indoktrination

Gruß,

Küstenkind



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Riemannifold
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-07


Zu 1.

Da ist dir ein Fehler unterlaufen, denn es ist

$$\binom{n-1}{k-1} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1 - (k-1))!}$$
und der Nenner auf der rechten Seite wird dann zu $(k-1)!(n-k)!$.

Insgesamt haben wir also

$$\begin{align*}\binom{n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} &= \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} - \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\
&= \frac{(n-1)!(n-k)}{k!(n-k)!} - \frac{(n-1)!k}{k!(n-k)!}\\
&= \frac{(n-1)!(n-2k)}{k!(n-k)!} \\
&= \frac{n-2k}{n}\frac{n!}{k!(n-k)!} \\
&= \frac{n-2k}{n}\binom{n}{k}.
\end{align*}$$
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Riemannifold
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-07


Zu 2.

Es gilt
$$\begin{align*}
\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k} &= \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n-k)!}{(m-k)!(n-k-(m-k))!}.
\end{align*}$$ Hier kürzt sich $(n-k)!$ raus und wir bekommen also
$$\frac{n!}{k!(m-k)!(n-m)!}.$$ Multiplizieren von Zähler und Nenner mit $m!$ liefert $$\frac{n!m!}{m!(n-m)!k!(m-k)!} = \binom{m}{k}\binom{n}{m}.$$



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Riemannifold
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-07


Zu 3.

Es ist

$$\begin{align*}
\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k} = \sum_{k=1}^n\frac{kn!}{k!(n-k)!} =
\sum_{k=1}^n\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1} = n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}.
\end{align*}$$
Zu der Summe ganz rechts. Diese beträgt $2^{n-1}$. Das sieht man entweder durch den binomischen Lehrsatz $$(x+y)^N = \sum_{k=0}^N\binom{N}{k}x^ky^{N-k}$$ mit $x = y = 1$ ein, oder durch ein kombinatorisches Element:
Da $\binom{N}{k}$ die Anzahl aller $k$-elementigen Teilmengen einer $N$-elementigen Menge ist, ergibt sich durch die Summation die Anzahl aller ihrer Teilmengen also $2^N$.



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