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Mathematik » Stochastik und Statistik » Momenterzeugende Funktion ein Martingal
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Universität/Hochschule J Momenterzeugende Funktion ein Martingal
Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-09


Einen wunderschönen guten Tag!
Bei folgendem Beispiel hab ich Schwierigkeiten:
Sei $\left(M_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ ein Martingal bezüglich seiner natürlichen Filtration $\left(\mathcal{F}_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ also $\mathcal{F}_{n}=\sigma\left(M_{k}: k \leq n\right) .$ Seien die Inkremente von $M$ unabhängig, also $\left(M_{n+1}-M_{n}\right)$ ist unabhängig von $\mathcal{F}_{n} .$ Sei außerdem $\varphi_{M_{n}}(t)=\mathbb{E}\left[\exp \left(t M_{n}\right)\right]$
die Momentenerzeugende Funktion von $M_{n}$, wobei wir voraussetzen, dass diese existiert. Sei $\left(Y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}}$ ein adaptierter Prozess, $t \in \mathbb{R}$ beliebig und setze $M_{0}=0$. Zeigen Sie, dass
$$ Y_{n}:=\exp \left(t M_{n}\right) \frac{1}{\varphi_{M_{n}}(t)} \quad \text { und } \quad S_{n}:=\sum_{k=1}^{n} Y_{k-1}\left(M_{k}-M_{k-1}\right)
$$ Martingale bezüglich $\mathcal{F}$ sind. Zeigen Sie außerdem, dass
$$ X_{n}:=\exp \left(t S_{n}\right) \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{\varphi_{M_{k}}-M_{k-1}\left(t Y_{k-1}\right)}
$$ ebenfalls ein Martingal bezüglich $\mathcal{F}$ ist.
Dabei darf ich bei dem letzten Teil folgende Aussage verwenden:
Sei $Y$ bezüglich $\mathcal{G}$ messbar und $X$ von $\mathcal{G}$ unabhängig. Sei $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ eine beschränkte, messbare Funktion, dann gilt
$$ \mathbb{E}[f(X, Y)]=g(X) \quad \text { f.s. }
$$ wobei $g=x \mapsto \mathbb{E}[f(x, Y)]$, d.h. man setzt ein fixes $x \in \mathbb{R}$ ein und nimmt den Erwartungswert bezüglich $Y$.

Die Aussage für $S_n$ habe ich so gezeigt:
$$\mathbb E[\sum\limits_{k=1}^{n+1}Y_{k-1}(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_n]=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\mathbb E[Y_{k-1}(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_n]=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\mathbb E[\mathbb E[Y_{k-1}(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_{k-1}]|\mathcal F_n]\stackrel{Y_{k-1}\text{ ist }\mathcal F_{k-1} \text{ m.b.}}{=}\sum\limits_{k=1}^{n+1}\mathbb E[\mathbb E[Y_{k-1}|\mathcal F_{k-1}]\mathbb E[(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_{k-1}]|\mathcal F_n]=
\sum\limits_{k=1}^{n+1}\mathbb E[\mathbb E[\mathbb E[Y_{k-1}|\mathcal F_{k-2}]|\mathcal F_{k-1}]\mathbb E[M_k|\mathcal F_{k-1}]-\mathbb E[M_{k-1}|\mathcal F_{k-2}|\mathcal F_{k-1}]|\mathcal F_n]=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\mathbb E[Y_{k-2}(M_{k-1}-M_{k-2})|\mathcal F_n]=\sum\limits_{k=1}^n Y_{k-1}(M_k-M_{k-1})$$ Wobei $S_n$ als Produkt messbarer Funktionen adaptiert ist.
Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Aussage für $Y_n$ bzw. $X_n$ zeigen könnte, bin mir nicht sicher, ob die Exponentialfunktion eines Martingals wieder ein Martingal ist.
Wäre für jegliche Hilfe dankbar!
Lg Axerstein



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Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09


Ich habe nun folgendes versucht:
$$\mathbb E[Y_{n+1}|\mathcal F_n]=\mathbb E\left[\left.\exp(t M_{n+1}) \frac{1}{\varphi_{M_{n+1}}(t)}\right|\mathcal F_n\right]=
    \mathbb E\left[\left.\exp(tM_n)\exp(tM_{n+1}-tM_n)\frac{1}{\mathbb E[\exp(tM_{n+1})]}\right|\mathcal F_n\right]=
    \exp(tM_n)\mathbb E\left[\left.\exp(tM_{n+1}-tM_n)\frac{1}{\mathbb E[\mathbb E[\exp(tM_{n+1})|\mathcal F_n]]}\right|\mathcal F_n\right]$$ Meine Frage wäre, wenn $M_n$ ein Martingal ist, ist dann $\exp(tM_n)$ auch ein Martingal? Dann könnt ich nächmlich folgendes machen:
$$\exp(tM_n)\mathbb E\left[\left.\exp(tM_{n+1}-tM_n)\frac{1}{\mathbb E[\mathbb E[\exp(tM_{n+1})|\mathcal F_n]]}\right|\mathcal F_n\right]=
\exp(tM_n)\mathbb E\left[\left.\mathbb E[\exp(tM_{n+1}-tM_n)|\mathcal F_n]\frac{1}{\mathbb E[\exp(tM_n)]}\right|\mathcal F_n\right]=
\exp(tM_n)\mathbb E\left[\left.\exp(-tM_n)\mathbb E[\exp(tM_{n+1})|\mathcal F_n]\frac{1}{\mathbb E[\exp(tM_n)]}\right|\mathcal F_n\right]=
\exp(tM_n)\mathbb E\left[\left.\frac{1}{\mathbb E[\exp(tM_n)]}\right|\mathcal F_n\right]=\exp(tM_n)\frac{1}{\mathbb E[\exp(tM_n)]}=Y_n$$ Ist das so richtig?
Lg



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Axerstein hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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