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Integration » Lebesgue-Integral » Integrationstheorie - Limes von Nullmengenfolgen
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Universität/Hochschule Integrationstheorie - Limes von Nullmengenfolgen
Timethie
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 17
  Themenstart: 2021-05-10

Hallöle, ich habe die folgende Aufgabe: ---------------------------------------- Es seien $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ ein Maßraum, $f \in \mathcal{L}_1(\mu)$ eine integrierbare Abbildung (d.h. $\int |f| \cdot\text{d}\mu < \infty$) und $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge von Mengen in $\mathcal{A}$, sodass $\lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n) = 0$ gilt. Man überlege ob dann auch $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{A_n} f \cdot \text{d}\mu = 0$$ gilt und begründe seine Antwort. ---------------------------------------- Ich komme hier leider nicht weiter. Meine Intuition sagt mir, dass die Aussage stimmen müsste, weil $S := \{x \in \bigcup_{n \mathbb{N}} A_n : |f(x)| = \infty \}$ eine Nichtnullmenge sein sollte. Deshalb weil die Funktionswerte von $f$ beliebig hoch werden müssen um das sinken des Maßes der Mengen $A_n$ auszugleichen (man verzeihe mir die grobe Formulierung). Ich weiß allerdings nicht, wie ich das sauber begründe. Ich habe versucht über eine Konstruktion einer Folge $(\tilde{A}_k)_{k \in \mathbb{N}}$ aus disjunkten Mengen zu argumentieren (die aber immernoch die Bedingungen an $A$ erfüllen), da dann $$\int_{\bigcup A_n} |f| \text{d}\mu = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left( \int_{\tilde{A}_k} |f| \cdot \text{d}\mu \right)$$ gilt. Ich habe auch versucht über Abschätzungen zu arbeiten, aber ich komme da einfach nicht weiter, bzw. mir fehlen Zwischenschritte. Es würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.


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nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 625
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-10

Die Aussage stimmt. Mein erster Gedanke wäre: Definiere eine Folge durch $f_n=f\cdot\chi_{A_n}$ und verwende den Satz von der majorisierten Konvergenz. Ansonsten könntest du auch das (signierte) Maß $$ \mu'(A)=\int_A f \ \mathrm d \mu $$ betrachten und $\mu' \ll \mu$ ($\mu'$ ist absolut stetig bezüglich $\mu$) zeigen. Da $f$ $\mu$-integrierbar ist, ist $\mu'$ sogar endlich. Damit gibt es für jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$, sodass für alle $A\in \mathcal A$ mit $\mu(A)<\delta$ gilt, dass $|\mu'(A)|<\varepsilon$. Da $\mu(A_n)\to 0$ gibt es ein $N\in \mathbb N$ derart, dass für alle $n\geq N$ gilt $\mu(A_n)<\delta$. Folglich haben wir damit für $n\geq N$, dass $|\mu'(A_n)|<\varepsilon$, was zu zeigen war. Letzteres setzt natürlich ein paar Resultate voraus. LG Nico


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