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Integration » Riemannsche Summen » Riemann-Integrierbarkeit auf Intervall
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Universität/Hochschule Riemann-Integrierbarkeit auf Intervall
RochenRalf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-10


Hallo,

wenn eine Funktion auf einem offenen Intervall Riemann-integrierbar ist,

fed-Code einblenden

Kann ich dann eine Fortsetzung der Funktion f an den Rändern finden, sodass

fed-Code einblenden
Rieman-integrierbar auf [0,1] ist?

Im Prinzip, sollte es ja auch egal sein welche Werte dazu kommen, da sich f´ ja nur an endlich vielen Stellen von f unterscheidet.
Das Interval ist halt anders, deswegen bin ich mir unsicher ob ich das überhaupt darf, kann mir aber nicht vorstellen was denn schiefgehen sollte :P

Vielen Dank!
Gruß Ralf



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-10


Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten! :)

Die Frage ergibt zumindest für mich keinen Sinn, da ich keine Definition der Riemann-Integrierbarkeit für offene Intervalle kenne.

Was genau meinst du also mit "Riemann-integrierbar auf $(0,1)$"?

Ist die Frage so gemeint?:

Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb R$ Riemann-integrierbar. Sei weiter $g\colon [a,b]\to \mathbb R$ mit $g(a)=c_1, \ g(b)=c_2$ sowie $g(x)=f(x)$ für $x\in (a,b)$ mit beliebigen $c_1,c_2\in \mathbb R$.

Dann ist $g$ ebenfalls Riemann-Integrierbar und es gilt
$$ \int_a^b f(x) \ \mathrm d x = \int_a^b g(x) \ \mathrm d x.
$$
Also man kann eine Riemann-Integrierbare Funktion an endlich (!) vielen Stellen abändern und an der Integrierbarkeit und dem Wert des Integrals ändert sich dabei nichts.

LG Nico



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RochenRalf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10


Hi Nico,

hmm wenn Riemann-Integrierbarkeit nicht für offene Intervalle definiert ist, muss ich das vielleicht ein bisschen anders formulieren.

fed-Code einblenden



fed-Code einblenden

Ist g auf [0,1] dann Riemann-integrierbar für irgend ein c?

Gruß Ralf



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-11


Hallo Ralf,

bist du denn bereits mit der Maßtheorie vertraut? Ein bekannter Satz der Maß- bzw. Integrationstheorie lautet nämlich:

$\textbf{Satz.}$ Eine beschränkte Funktion $f$ auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn $f$ $\lambda$-fast überall stetig ist.

Dieser Satz lässt sich hier schön anwenden um deine Frage mit "Ja" zu beantworten. Aus den von dir gegebenen Voraussetzungen kann man mit obigem Satz zeigen, dass dann $f$ sogar auf $[0,1]$ Riemann-integrierbar ist und mit meiner Bemerkung in Beitrag 1, kann man dann $f$ an endlich vielen Stellen abändern, so dass auch $g$ für jedes $c\in \mathbb R$ Riemann-Integrierbar ist.

LG Nico



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-11


2021-05-11 00:50 - nzimme10 in Beitrag No. 3 schreibt:
Dieser Satz lässt sich hier schön anwenden um deine Frage mit "Ja" zu beantworten.

Die Funktion$$ f(x)=\begin{cases}\frac1x&x\ne0\\0&x=0\end{cases}
$$ist auf jedem Intervall $[a,1]$ mit $0<a<1$ Riemann-integrierbar, aber es gibt keine Funktion der Form$$ g(x)=\begin{cases}f(x)&x\ne0\\c&x=0\;,\end{cases}
$$die auf ganz $[0,1]$ Riemann-integrierbar wäre.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-11


Hallo zippy,

implizit steckt hier natürlich die Annahme dahinter, dass die betrachteten Funktionen beschränkt sein sollen. In dem von mir zitierten Lebesgue'schen Satz ist das ja auch eine Voraussetzung an $f$. Sonst können wir nicht von Riemann-Integrierbarkeit (zumindest im eigentlichen Sinn) sprechen.

Ich danke dir für deine Nachricht, die mir diese implizite Annahme klar gemacht hat.

Ich muss meine Antwort also revidieren:

Die Antwort auf deine Frage lautet "Ja" $\textit{wenn}$ wir voraussetzen, dass $f$ beschränkt ist. Falls wir das nicht tun, siehe zippy's Gegenbeispiel (dann kann man aber u.U. nur von uneigentlicher Riemann-Integrierbarkeit sprechen).

LG Nico



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RochenRalf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-11


Danke für die Antworten!

Mit der Maßtheorie bin ich leider noch nicht vertraut.

Dass f beschränkt sein muss ergibt Sinn, aber ich habe es nicht so wirklich  hingekriegt (mit meinen basic Riemann-Integrierbarkeits Sätzen) zu rechtfertigen, "dass dann $f$ sogar auf $[0,1]$ Riemann-integrierbar ist" was auch die eigentliche Idee hinter meiner Frage am Anfang war.

Brauche ich dafür wirklich diesen Satz aus der Maßtheorie?

Bei meinen Versuchen bin ich auf die Aussage gestoßen:
fed-Code einblenden
Ich schätze das soll solche Fälle wie das Beispiel von zippy ausschließen?

Gruß Ralf



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-11


Hallo Ralf,

Ich will definitiv nicht ausschließen, dass man das auch mit anderen Methoden zeigen kann. Jedoch ist die Maßtheorie meiner Meinung nach viel natürlicher und auch tatsächlich wird der Beweis damit sehr kurz und einfach.

So eine Bedingung an den Limes der Integrale würde zumindest zippy's Gegenbeispiel ausschließen.

LG Nico



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zippy
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2021-05-11 13:43 - nzimme10 in Beitrag No. 7 schreibt:
So eine Bedingung an den Limes der Integrale würde zumindest zippy's Gegenbeispiel ausschließen.

Eine analoges Beispiel mit $1/\sqrt x$ statt $1/x$ wäre aber immer noch möglich, und auch hierzu gäbe es keine auf ganz $[0,1]$ Riemann-integrierbare Funktion $g$.

Man könnte auf die uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit ausweichen. Die ist aber ohnehin äquivalent zur Existenz des Grenzwerts.



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