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Strukturen und Algebra » Ringe » Triviale Ideale
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Universität/Hochschule J Triviale Ideale
gruebl
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  Themenstart: 2021-05-12

Ich habe eine Frage zu den Idealen eines Körpers. Bekanntlich gibt es die Ideale I=0 und I=K. Nun möchte ich das Beweisen, dass jeder Körper nur diese Ideale hat. Mein Ansatz: K ist ein Körper und I \subsetequal\ K ist ein Ideal. Es gilt nach Definition 0 \el\ I sowie 0+0=0 \el\ I. Ferner gilt 0 * 0 = 0 \el\ I. Also erhalten wir das Nullideal I=0. Reicht das als Beweis für ein Ideal? Wie beweise ich es für das Ideal I=K?


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helmetzer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-12

Für das Null-Ideal: Es reicht nicht, was Du geschrieben hast. Wiederhole die Definition eines Ideals!


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gruebl
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12

\quoteon(2021-05-12 10:48 - helmetzer in Beitrag No. 1) Für das Null-Ideal: Es reicht nicht, was Du geschrieben hast. Wiederhole die Definition eines Ideals! \quoteoff Was muss ich noch beachten? Ich habe die Def. vor mir liegen.


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Riemannifold
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-12

Ich verstehe deinen Ansatz nicht. Du willst doch nicht zeigen, dass $0$ ein Ideal ist, das ist ja bekannt, wie du selbst sagst. Du möchtest zeigen, dass es keine Ideal außer $0$ und $K$ gibt. Ich würde da folgendermaßen rangehen: Sei $I\subset K$ ein Ideal und nicht das Nullideal. Dann gibt es also ein $x\in I$ mit $x\neq 0$. Das Inverse von $x$ existiert und somit ist (nach Definition des Ideals) auch $x^{-1}x = 1\in I$. Dann sind wir aber fertig, denn wenn $1\in I$, dann ist auch $y\cdot 1 = y\in I$ für jedes $y\in K$. Es folgt $I = K$. Liebe Grüße


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tactac
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Du willst doch nicht beweisen, dass $0$ und $K$ Ideale sind, sondern, dass ein Körper nur diese Ideale hat, was bedeutet: Wenn $I \subseteq K$ ein Ideal ist, ist $I=0$ oder $I=K$. Ein Tipp dafür: Beweise zunächst folgendes Lemma: Lemma 0. Sei $R$ ein Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal. Falls nun $1 \in I$, folgt $R \subseteq I$. Deine Aussage folgt dann ganz einfach aus einer Anwendung dieses Lemmas, der Körperdefinition und einer Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten (jedoch nicht auf die Frage, ob $1 \in I$, sondern auf eine andere, die ich jetzt nicht verrate). [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


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gruebl
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12

\quoteon(2021-05-12 11:53 - tactac in Beitrag No. 4) Du willst doch nicht beweisen, dass $0$ und $K$ Ideale sind, sondern, dass ein Körper nur diese Ideale hat, was bedeutet: Wenn $I \subseteq K$ ein Ideal ist, ist $I=0$ oder $I=K$. Ein Tipp dafür: Beweise zunächst folgendes Lemma: Lemma 0. Sei $R$ ein Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal. Falls nun $1 \in I$, folgt $R \subseteq I$. Deine Aussage folgt dann ganz einfach aus einer Anwendung dieses Lemmas, der Körperdefinition und einer Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten (jedoch nicht auf die Frage, ob $1 \in I$, sondern auf eine andere, die ich jetzt nicht verrate). [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Muss ich nicht dafür zuerst zeigen, dass es ein Nullideal gibt? Dann muss ich doch zeigen I=0. Im nächsten Schritt zeige ich dann, sei I ungleich 0. Dann ... und so folgere ich dass I = K. oder nicht?


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Riemannifold
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-12

Dass das Nullideal ein Ideal ist, ist ein Einzeiler, der mit der Definition des Ideals schnell gemacht ist.


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tactac
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-12

\quoteon(2021-05-12 11:59 - gruebl in Beitrag No. 5) Muss ich nicht dafür zuerst zeigen, dass es ein Nullideal gibt? Dann muss ich doch zeigen I=0. \quoteoff Nein. Das Nullideal gibt es erstens immer, zweitens ist die Frage danach irrelevant. \quoteon Im nächsten Schritt zeige ich dann, sei I ungleich 0. Dann ... und so folgere ich dass I = K. oder nicht? \quoteoff So ungefähr. Insgesamt, mit korrektem ersten Teil, machst du also eine Fallunterscheidung danach, ob ein Ideal das 0-Ideal ist, oder nicht. (Das ist die Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, die ich angemerkt habe.)


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gruebl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
gruebl hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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