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Universität/Hochschule Gradientenähnliches Abstiegsverfahren
xitsokx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-12

\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)
Hallo,


Ich habe folgendes Problem:

Betrachten Sie eine stetig differenzierbare Funktion $J\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ und einen Punkt  $x\in \mathbb{R}^n$ sodass $\nabla J(x) \neq 0$.
Sei $M \in \mathbb{R}^{n\times n}$ symmetrisch und positiv semidefinit.
 
Ist $d = -M\nabla J(x)$ eine Abstiegsrichtung?



Ich weiß folgendes:

Ein Vektor $d \in \mathbb{R}^n$ heißt Abstiegsrichtung von J in x, wenn ein $t_0 > 0$ existiert mit $J ( x +dt) < J(x)$ für alle $t \in (0, t_0 ]$.

Ist J stetig diffenrenzierbar, dann ist die Bedingung $\nabla J(x)^T < 0$ hinreichend dafür, dass $d \in \mathbb{R}^n$ eine Abstiegsrichtung von J in x ist.
Sie ist nicht notwenig: wenn x beispielsweise eine strikte lokale Maximalstelle ist, dann sind alle $d \in \mathbb{R}^n$ Abstiegsrichtungen von J in x. Und die Bedienung ist nicht für alle diese Richtungen erfüllt.

Zudem weiß ich, dass der Vektor $d = - \nabla J(x)$ stets eine Abstiegsrichtung ist, sofern x kein stationärer Punkt ist, denn dann gilt $\nabla J(x)^Td = - || \nabla J(x)||^2_2 < 0$.
$- \nabla J(x)$ ist sogar die Richtung des steilsten Abstiegs: unter allen Richtungen $d \in \mathbb{R}^n$ mit $||d||_2 = 1$ ist der normierte Gradient von J in x Minimalstelle von $\min \nabla J(x)^T d$ unter der Norm $||d||_2 = 1$.

Und ist M positiv definitiv, dann ist  $d = - M\nabla J(x)$ im Fall  $ \nabla J(x) \neq 0$ eine Abstiegsrichtung, denn es gilt $\nabla J(x)^T d = - \nabla J(x)^T  M \nabla J(x) < 0$.

Vielen Dank schonmal.

LG xitsokx
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-12


Hallo,

eigentlich hast du deine Frage doch schon selbst beantwortet. Was ist denn noch unklar?



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xitsokx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


M ist ja nach meiner Voraussetzung positiv semidefinit. Und ich habe nur die Bemerkung bezüglich der Definitheit gegeben.
Wie wende ich aber die Semidefinitheit an?



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