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Analysis » Funktionalanalysis » Banachscher Fixpunktsatz
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Universität/Hochschule Banachscher Fixpunktsatz
schranco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-12


Hallo,
ich habe diese Aufgabe: Verwenden Sie den Banach’schen Fixpunktsatz um zu zeigen, dass die Gleichung x^2+3=e^x im Intervall [0,∞) genau eine Lösung hat.
Nach Banachscher Fixpunktsatz, wenn f eine Kontraktion ist ,dann besitzt f genau eine Fixpunkt.
ich möchte zeigen,dass |f`(x)|<1 ist,dann ist f eine Kontraktion ist. Aber ich bekomme f`(x)=2x-e^x, die ist nicht kleiner als 1. Jetzt weiss ich nicht, wie ich weitermachen kann.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo schranco,

vielleicht musst du das erst umformen, etwa \( f=g\Leftrightarrow \dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{g}\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+f}=\dfrac{1}{1+g}\) oder irgendwie.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-12


Hey schranco,

zunächst mal solltest du das Problem in ein Fixpunktproblem umschreiben. Also etwa \(x^2+3=e^x \Leftrightarrow f(x)=x\) für eine gewisse Funktion \(f\).

Andererseits könnte es vielleicht auch helfen, das Intervall einzuschränken, indem du begründest, warum diese Gleichung in einem Intervall \([a, \infty)\) für ein gewisses \(a>0\) sowieso keine Lösung haben kann.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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schranco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


2021-05-12 17:10 - Kampfpudel in Beitrag No. 2 schreibt:
Hey schranco,

zunächst mal solltest du das Problem in ein Fixpunktproblem umschreiben. Also etwa \(x^2+3=e^x \Leftrightarrow f(x)=x\) für eine gewisse Funktion \(f\).

Andererseits könnte es vielleicht auch helfen, das Intervall einzuschränken, indem du begründest, warum diese Gleichung in einem Intervall \([a, \infty)\) für ein gewisses \(a>0\) sowieso keine Lösung haben kann.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
Hallo Kampfpudel,
ich betrachte jetzt die Funktion f(x)=x^2+3-e^x und es ist f`(x)=2x-e^x stets kleiner als 0. f(x) ist monoton fallend.f(0)=2 f(1)=4-e>0 f(2)=7-e^2<0 so es gibt genau eine Lösung. Ist das richtig?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-12


Das löst zwar in der Tat das Problem, du sollst es aber laut Aufgabenstellung mit dem Banachschen Fixpunktsatz lösen, den du hier nicht benutzt hast



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schranco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


2021-05-12 17:41 - Kampfpudel in Beitrag No. 4 schreibt:
Das löst zwar in der Tat das Problem, du sollst es aber laut Aufgabenstellung mit dem Banachschen Fixpunktsatz lösen, den du hier nicht benutzt hast
Hallo Kampfpudel
könnten Sie bitte weitere Tipps geben?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-12


Wie kannst du denn die Gleichung \(x^2+3=e^x\) ziemlich einfach in eine Gleichung der Form \(g(x) = x\) umformen?



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schranco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


2021-05-12 17:52 - Kampfpudel in Beitrag No. 6 schreibt:
Wie kannst du denn die Gleichung \(x^2+3=e^x\) ziemlich einfach in eine Gleichung der Form \(g(x) = x\) umformen?
Hallo Kampfpudel
Danke für Ihre Hilfe, ich habe jetzt dies Problem gelöst。



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