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Mathematik » Strukturen und Algebra » Adjungierte Darstellung der Heisenberg-Algebra
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Universität/Hochschule J Adjungierte Darstellung der Heisenberg-Algebra
nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-12


Hallo,

Sei $\mathcal H_3$ ein $3$-dimensionaler $\mathbb C$-Vektorraum mit einer $\mathbb C$-Basis $(p,q,z)$. Weiter sei
$$ [\cdot,\cdot]\colon \mathcal H_3\times \mathcal H_3\to \mathcal H_3
$$ eine bilineare Abbildung mit
$$ [p,q]=-[q,p]=z
$$ und alle anderen Klammern zwischen $p,q,z$ sind 0. Ich habe bereits gezeigt, dass $\mathcal H_3$ mit dieser Klammer zu einer nilpotenten Lie-Algebra wird, die isomorph zu $\mathfrak n$ ist, wobei $\mathfrak n\subseteq \mathfrak{gl}_3(\mathbb C)$ die Lie-Unteralgebra der echten oberen Dreiecksmatrizen ist.

Ich würde nun gerne eine $\mathbb C$-Basis von $\mathcal H_3$ finden derart, dass $\operatorname{ad}(\mathcal H_3)$ aus oberen Dreiecksmatrizen besteht. Dabei bezeichnet
$$ \operatorname{ad}\colon \mathcal H_3 \to \mathfrak{gl}(\mathcal H_3), \ X\mapsto \operatorname{ad}(X):=[X,\cdot]
$$ die adjungierte Darstellung.

Nun ist $\mathcal H_3$ nilpotent und damit auflösbar. Dadurch gibt es ein $v\in \mathcal H_3\setminus \lbrace 0 \rbrace$ derart, dass $v$ ein Eigenvektor von $\operatorname{ad}(X)$ ist für jedes $X\in \mathcal H_3$.

Als ersten Basisvektor würde ich also dieses $v$ wählen und dann zu einer Basis $(v,v_2,v_3)$ von $\mathcal H_3$ ergänzen. Nun müsste ich irgendwie einen $\operatorname{ad}$ invarianten Unterraum konstruieren, so dass ich für diesen erneut einen gemeinsamen Eigenvektor finden könnte, oder?

Da komme ich momentan nicht ganz weiter. Über Hinweise würde ich mich sehr freuen :)

LG Nico



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-12


Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Frage richtig verstehe.

Wenn du von dieser Definition hier ausgehst...

2021-05-12 17:11 - nzimme10 im Themenstart schreibt:
$\operatorname{ad}\colon \mathcal H_3 \to \mathfrak{gl}(\mathcal H_3), \ X\mapsto \operatorname{ad}(X):=[X,\cdot]$

... sind die $\operatorname{ad}(X)$ Endomorphismen von $\mathcal H_3$, also keine Matrizen.

Möchtest du jetzt eine Basis von $\mathcal H_3$ finden, so dass die Darstellungsmatrizen der $\operatorname{ad}(X)$ in dieser Basis obere Dreiecksmatrizen sind?

Wäre nicht schon $(z,p,q)$ so eine Basis?



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


Genau, das habe ich etwas unsauber formuliert. (Beziehungsweise die Aufgabe ist unsauber formuliert).

So verstehe ich es aber, dass es gemacht werden soll. Ich suche also eine Basis $\mathcal B$, so dass $\mathcal M_{\mathcal B}(\operatorname{ad}(X))$ eine obere Dreiecksmatrix ist, für jedes $X\in \mathcal H_3$.

Wir haben
$$ \operatorname{ad}(X)(z)=[\lambda_1 p +\lambda_2 q+\lambda_3 z,z]=0.
$$ Weiter ist
$$ \operatorname{ad}(X)(p)=[\lambda_1 p +\lambda_2 q+\lambda_3 z,p]=-\lambda_2 z
$$ und
$$ \operatorname{ad}(X)(q)=[\lambda_1 p +\lambda_2 q+\lambda_3 z,q]=\lambda_1 z.
$$ In dieser Basis wäre dann
$$ \mathcal M(\operatorname{ad}(X))=\begin{pmatrix} 0 &-\lambda_2&\lambda_1 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0\end{pmatrix}
$$ oder habe ich was übersehen?

LG Nico



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-12


2021-05-12 17:54 - nzimme10 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich suche also eine Basis $\mathcal B$, so dass $\mathcal M_{\mathcal B}(\operatorname{ad}(X))$ eine obere Dreiecksmatrix ist, für jedes $X\in \mathcal H_3$.

2021-05-12 17:50 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Wäre nicht schon $(z,p,q)$ so eine Basis?



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Danke zippy!

Ich war wohl einfach von der Formulierung der Aufgabe verwirrt.

LG Nico



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