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Universität/Hochschule J Preis einer forward starting call option
Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-15


Einen wunderschönen guten Tag!
Bei folgendem Beispiel habe ich Probleme:
Es sei $r=0$ und $\left(S_{t}\right)_{t \leq T}$ ein CRR-Modell. Für $T_{0} \in\{1, \ldots, T-1\}$ und $K>0$ ist das payoff-Profil einer forward starting call option durch $\left(\frac{S_{T}}{S_{T_{0}}}-K\right)^{+}$ gegeben. Bestimmen Sie den arbitragefreien Preis und eine Hedgingstrategie.

Der arbitragefreie Preis einer Option ist gegeben durch
$$\mathbb E_{\mathbb P^*}\left[\left(\frac{S_T}{S_{T_0}}-K\right)^+\right],$$ ich sehe aber nicht, wie ich damit den Preis bestimmen könnte, da ich nichtmal ein äquivalentes Martingalmaß habe und nicht weiß, wie ich es berechnen könnte.
Lg Axerstein



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-15


Huhu Axerstein,

es ist sicher hilfreich, wenn Du ein paar zusätzliche Anmerkungen zu dem von Dir verwendeten Modell machst (OK, es gibt natürlich das originale Modell von Cox/Ross/Rubinstein, "Option pricing: A simplified approach". Journal of Financial Economics 7, falls Du das meinst...)

Ausserdem wäre es schön, wenn Du ein paar Worte zu den Dingen verlierst, die Du aufführst; man muss sich sonst selbst alles zusammenreimen. Hier hast Du also ein Modell eines zeitdiskreten Marktes mit einem risky asset $S$. Ich gehe einfach mal davon aus, dass Du darüberhinaus noch eine risikolose Anlage mit einem Zins $r_t$ hast.
Dann betrachtest Du ein Derivat, welches Dir das Recht gewährt, das asset zu einem zukünftigen Zeitpunkt $T$ zum Preis $K\cdot S_{T_0}$ zu erwerben, wobei $T_0$ ein weiterer zukünftiger Zeitpunkt mit $T_0<T$ ist? Habe ich das soweit richtig verstanden?

Wenn man mal aufschreibt, wie das Derivat funktioniert, hat man oft auch schon eine Idee, wie die Hedging-Strategie aussieht. Und dann kann man oft Dinge vereinfachen, wenn man bedenkt, dass der diskutierte Preisprozess unter dem risikoneutralen Maß ein Marginal darstellt.

Dessen ungeachtet: Binomialmodelle (wie das von CRR) sind eine Diskretisierung zeitstetiger Modelle vom Black-Scholes-Typ. Insbesondere gelten also dessen Ergebnisse. Mit diesen bekannten Formeln könntest Du also alles ausrechnen.

Wenn Dir das aber alles zu "praktisch" oder heuristisch erscheint: Das geeignete Mittel um risikoneutrale Maße zu bestimmen ist der Satz vor Girsanov.

lg, AK



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Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Hallo AnnaKath!
Entschuldige für die ungenaue Formulierung, mir war nicht bewusst, dass es mehrere Cox-Ross-Rubinstein Modelle gibt.
In der Vorlesung haben wir es folgendermaßen definiert:
Es gibt eine risikolose Anlgae mit $S_t^0=(1+r)^t, t=0,...,T, r>-1$
Risikobehaftete Anlage: $(S_t)_{t=0,...,T}, S_0>0, S_t=\begin{cases} S_{t-1}(1+b) & Y_t=1\\
S_{t-1}(1+a) & Y_t=-1
\end{cases}\\

\Omega=\{-1,1\}^T=\{\omega=(y_1,...,y_T)|y_i\in\{1,-1\}\}$

2021-05-15 15:57 - AnnaKath in Beitrag No. 1 schreibt:
 Ich gehe einfach mal davon aus, dass Du darüberhinaus noch eine risikolose Anlage mit einem Zins $r_t$ hast.

Ich habe $r=0$ gegeben, es gilt also $r_t=0$.



2021-05-15 15:57 - AnnaKath in Beitrag No. 1 schreibt:

Dann betrachtest Du ein Derivat, welches Dir das Recht gewährt, das asset zu einem zukünftigen Zeitpunkt $T$ zum Preis $K\cdot S_{T_0}$ zu erwerben, wobei $T_0$ ein weiterer zukünftiger Zeitpunkt mit $T_0<T$ ist? Habe ich das soweit richtig verstanden?

lg, AK
Mein strike price sollte $K$ sein und mein Zahlungsanspruch ist der Positivteil der Differenz vom Kurs $\frac{S_t}{S_{T_0}}$ und $K$. Ich geh also davon aus, dass ich zum Zeitpunkt $T$ die Differenz von $\frac{S_T}{S_{T_0}}$ (verwendet man hier $S_{T_0}$ als Numeraire? warum ist das "praktisch"?) und $K$ ausgezahlt bekomme, wenn $\frac{S_T}{S_{T_0}}>K$.

Das Black-Scholes-Modell hab ich noch nicht gelernt, genauso ist mir der Satz von Girsanov nicht bekannt.
Lg Axerstein



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-16


Huhu Axersten,

vielen Dank für die Klarstellungen (im Übrigen braucht man noch die Verteilung von $Y$...).
Wenn $r=0$ ist, ist die risikolose Anlage konstant im Wert; das ist nützlich, es erspart die Diskontierung. Für die Bemerkung zum CRR-Modell behalte ich aber einen Zinssatz bei, sonst erkennt man den Sinn der Konstruktion nicht. Für die Aufgabe kann man dann ja $r=0$ wählen.

Verhält sich die risikobehaftete Anlage gemäss $S_t = S_{t-1} \left [ (1+a) 1_{Y_t=1} + (1+b) 1_{Y_t=-1} \right ]$, so müssten die Parameter für das ursprüngliche CRR-Modell wie folgt gewählt werden*:
$(1+a) = \mathrm{e}^{\sigma \sqrt{\Delta t}} =: u$, $(1+b) = u^{-1} =: d$ sowie $\mathbb{P}(Y_t=1)=\frac{\mathrm{e}^{r\Delta t} - d}{u - d}$.
Ich nehme nicht an, dass dies hier unterstellt wird, aber das spielt für die Behandlung des Derivats auch keine wirkliche Rolle.

Kommen wir zur eigentlichen Aufgabe: Mache Dir klar, dass das Derivat den gleichen fairen Preis haben muss, wie ein (European) Call, der zum Zeitpunkt $T_0$ mit Strikeprice $K` = K \cdot S_{T_0}$ und Laufzeit $T-T_0$ abgeschlossen wird. Für ein solches Ding kennst Du den Preis und das replizierende Portfolio (oder solltest diese kennen...)

Wie Du bereits geschrieben hast, ist es möglich und durchaus nützlich für das Weitere, den Numeraire auf den Wert $S_{T_0}$ oder einen geeigneten Prozess $R_t$, der $R_{T_0}=S_{T_0}$ f.s. erfüllt, zu ändern. Das ist aber nicht zwangsläufig erforderlich.

Du musst nun noch eine Idee für den Zeitraum $0, \ldots, T_0-1$ finden. Was geschieht in diesem Zeitraum? Kannst Du ein Portfolio angeben, dass im Zeitraum $T_0$ den Wert $S_{T_0}$ hat? Berechne daraus den fairen Preis für ein entsprechendes Derivat (es ist von der Struktur her ein Future).**

Fasse dann die beiden Teilderivate zusammen (z.B. indem Du die replizierenden Portfolien einfach "addierst").

lg, AK

*) unter der Vorraussetzung, das auf das Wertpapier keine Dividenden gezahlt werden und sein Preis einer geometrischen Brown'schen Bewegung mit Volatilität $\sigma$ und diskontierter Drift $0$ folgt
**) dies kann man sich auch schenken, wenn man die von mir erwähnte Martingaleigenschaft unter dem risikoneutralen Maß berücksichtigt



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Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


Hallo AnnaKath!
Vielen Dank für die Antwort, ich bin aber noch mit Teilen überfordert.
2021-05-16 13:26 - AnnaKath in Beitrag No. 3 schreibt:

Mache Dir klar, dass das Derivat den gleichen fairen Preis haben muss, wie ein (European) Call, der zum Zeitpunkt $T_0$ mit Strikeprice $K` = K \cdot S_{T_0}$ und Laufzeit $T-T_0$ abgeschlossen wird. Für ein solches Ding kennst Du den Preis und das replizierende Portfolio (oder solltest diese kennen...)



Bei so einem Call wird zum Zeitpunk $T$ $(S_T-K\cdot S_{T_0})^+$ ausgezahlt. Welche Rolle spielt dabei der Zeitpunkt, zu dem mein Derivat abgeschlossen wird? In der Vorlesung hatten wir bisher nur Optionen, die zum Zeitpunkt $t=0$ abgschlossen wurden. Intuitiv würde ich sagen, dass bei einem späteren Zeitpunkt der Preis höher sein muss, weil wir weniger Unsicherheiten haben (der Kurs hat "weniger Zeit" zu wachsen oder zu fallen). Wie kann ich das dann als eine Funktion darstellen bzw. ist das hier notwendig?

Lg Axerstein



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AnnaKath
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Huhu Axerstein,

ich verstehe nicht so recht, woran es scheitert, nun loszulegen...

Was ist es Dir heute ($t=0$) wert ($F$), wenn ich Dir verspreche, in 7 Zeiteinheiten ($T_0=7$) ein "Ding" (Wertpapier) zu verkaufen, das aktuell $S_0$ wert ist und dessen Dynamik Dir Dein Modell vorgibt?
Das ist recht ähnlich zu einem Call, der Kauf ist nur verpflichtend (ein Future). Etwas formaler: Der Payoff ist $S_{T_0} - F$.

Was wäre es Dir wert, wenn das Ding, das ich Dir verkaufe, keine Aktie, sondern ein Europäischer Call mir Strike $K \cdot S_{T_0}$ und Restlaufzeit $T-T_0$ ist?

Wenn Du den Numeraire ändert, dürfte die zweite Frage dann auch leicht zu beantworten sein...

lg, AK



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
AnnaKath
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Nachtrag:

Axerstein hat das OK-Häkchen gesetzt.
Damit ein solcher Thread allerdings nicht ganz ohne ein "Ergebnis" bleibt (und so ggf. Nachlesenden zumindest ein wenig Information bietet), möchte ich hier ein Beispiel für die Berechnung des fairen Preises eines solchen Derivates notieren:

Betrachten wir also ein Binomialmodell für ein Wertpapier $S$, dessen Kurs $S_{t}$ sich über eine Zeitperiode entweder zu $S_{t+1} = u S_t$ oder $S_{t+1} = d S_t$ ändert. Dabei gelte beispielsweise $u = 1/d = \frac54$. Setzen wir $T_0=1$ und $T=2$ und schauen uns den forward call an.

Gedanklich zerlegen wir das Derivat in zwei Produkte, ein Aktienbezugsrecht C, dass den Bezugspreis $K=S_1$ und den Ausübungszeitpunkt $2$ besitzt und einen Terminkontrakt F, der zum Erwerb dieses Instrumentes in $t=1$ zum dann fairen Preis verpflichtet.

Konstruieren wir die replizierenden Portfolien (also Kombinationen aus Geldanlage/Kredit zum risikolosen Zins - hier $r=0$ - und Investment in der risikobehafteten Anlage). Ein replizierendes Portfolio für den Terminkontrakt ist offensichtlich das bezogene "Ding" an sich.
Das Aktienbezugsrecht wird durch ein Portfolio aus $\frac59$ Aktie und $\frac49 S_0$ Geldmarktkredit repliziert, was man durch Lösen des Gleichungssystems $\alpha S_0 u -B = S_0 (u-1)$, $\alpha S_0 d - B = 0$ für die Anzahl $\alpha$ der Aktien und das Kreditvolumen $B$ erhält.
Somit repliziert ein Portfolio aus $\frac59$ Aktie und $\frac49 S_0$ Kredit bereits das Gesamtderivat.

Für die konkrete Wahl des Binomialmodells ergibt sich der faire Preis $p$ des Derivats also zu $p = (\frac59 - \frac49) S_0 = \frac19 S_0$. Wie zu erwarten ist dieser Wert unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Binomialmodells.

lg, AK.



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