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Universität/Hochschule J Integral mit Gradient aus allgemeinem Satz von Stokes
Cyborg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-16


Hallo, Leute!



Ich brauche euch mal wieder:

Aus dem allgemeinen Satz von Stokes \(\displaystyle\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega\) habe ich folgern können:

1. \(\displaystyle \int_A rot(\vec{v})\cdot d\vec{S}=\int_{\partial A}\vec{v}\cdot d\vec{s}\)
2. \(\displaystyle \int_U div(\vec{v}) dV=\int_{\partial U}\vec{v}\cdot d\vec{S}\)
3. \(\displaystyle \int_U f\cdot\Delta g-g\cdot\Delta f dV=\int_{\partial U}
f\cdot\dfrac{\partial g}{\partial\nu}-g\cdot\dfrac{\partial f}{\partial\nu} dS\)
4. \(\displaystyle\int_G \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)-\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)\, d(x,y)=\oint_{\partial G}f\,dx+g\,dy \)
5. \(\displaystyle v(G)=\dfrac{1}{2}\cdot\oint_{\partial G}x\,dy-y\,dx\)
6. \(\displaystyle \int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)\)

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Ich habe drei Formeln gefunden:

(1) \(\displaystyle \int_\gamma grad(f)=f(\gamma(b))-f(\gamma(a))\)

(2) \(\displaystyle
\int_U grad(f)\,dV=\int_{\partial U} f\,d\vec{S}\)

(3) \(\displaystyle\int_A \vec{n}\times grad(f)\,dS=\int_{\partial A}f\,d\vec{s}\)


Beweis zu (1):

Sei \(\omega=f\) und \(M=Spur(\gamma)\), dann gilt:

\(\displaystyle\int_M d\omega=
\int_{\gamma[a,b]} \partial_1 f\, dx_1+\partial_2 f\, dx_2+\partial_3 f\, dx_3=
\int_{[a,b]} \gamma^*(\partial_1 f\, dx_1+\partial_2 f\, dx_2+\partial_3 f\, dx_3)=
\int_{[a,b]} (\partial_1)\circ \gamma\, d\gamma_1+(\partial_2)\circ \gamma\, d\gamma_2+(\partial_3)\circ \gamma\, d\gamma_3=
\int_{[a,b]} (\partial_1)\circ \gamma\, \dot{\gamma}_1(t)\,dt+(\partial_2)\circ \gamma\, \dot{\gamma}_2(t)\,dt+(\partial_3)\circ \gamma\, \dot{\gamma}_3(t)\,dt=
\int_{[a,b]}
\left(
          \begin{array}{c}
            \partial_1 f\\
            \partial_2 f\\
            \partial_3 f
          \end{array}
        \right)(\gamma(t))\cdot
\left(
          \begin{array}{c}
            \dot{\gamma}_1(t) \\
            \dot{\gamma}_2(t) \\
            \dot{\gamma}_3(t)
          \end{array}
        \right)dt=
\int_{[a,b]}grad(f)(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma}(t)dt=
\int_{\gamma[a,b]}grad(f)\cdot d\vec{s}=
\int_{\partial M}\omega=
\int_{\partial \gamma[a,b]}f=
\int_{\{\gamma(a),\gamma(b)\}}f=
-\int_{\{\gamma(a)\}}f+\int_{\{\gamma(b)\}}f=f(\gamma(b))-f(\gamma(a))\)

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(2) zeige ich so:

Nach dem Satz von Gauß gilt:

\(\displaystyle\int_U (\partial_1 v_1+\partial_2 v_2+\partial_3 v_3)(x,y,z)\,dV=
\int_{\partial U}\vec{v}\cdot d\vec{S}=
\int_{s(R)}\vec{v}\cdot d\vec{S}=
\int_{R}v_1(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)_1+
v_2(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)_2+
v_3(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)_3 du\,dv\)

Daraus folgt:

\(\displaystyle\int_U \partial_i v_i(x,y,z)\,dV=
\int_{R}v_i(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)_i du\,dv\)

Also:

\(\displaystyle\int_U \partial_i f(x,y,z)\,dV=
\int_{R}f(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)_i du\,dv\)

Also:

\(\displaystyle
\left(
          \begin{array}{c}
            \displaystyle\int_U \partial_1 f(x,y,z)\,dV \\
            \displaystyle\int_U \partial_2 f(x,y,z)\,dV \\
            \displaystyle\int_U \partial_3 f(x,y,z)\,dV
          \end{array}
        \right)=
\left(
          \begin{array}{c}
            \displaystyle\int_{R} f(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)_1 du\,dv  \\
            \displaystyle\int_{R} f(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)_2 du\,dv  \\
            \displaystyle\int_{R} f(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)_3 du\,dv
          \end{array}
        \right)\)

Also:

\(\displaystyle
\displaystyle\int_U\left(
          \begin{array}{c}
             \partial_1 f(x,y,z) \\
             \partial_2 f(x,y,z) \\
             \partial_3 f(x,y,z)
          \end{array}
        \right)\,dV=
\displaystyle\int_{R}f(s(u,v))\cdot\left(
          \begin{array}{c}
             (\partial_u s\times\partial_v s)_1  \\
             (\partial_u s\times\partial_v s)_2  \\
             (\partial_u s\times\partial_v s)_3
          \end{array}
        \right)du\,dv=
\displaystyle\int_{R}f(s(u,v))\cdot (\partial_u s\times\partial_v s)du\,dv
\)

Also:

\(\displaystyle
\int_U grad(f)\,dV=\int_{\partial U} f\,d\vec{S}\)

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Nun zu (3):

Nach dem Satz von Stokes gilt:

\(\displaystyle
\int_R rot(\vec{v})(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)\,du\,dv=
\int_I (v_1(k(t))\cdot \dot{k}_1(t)+v_2(k(t))\cdot \dot{k}_2(t)+v_3(k(t))\cdot \dot{k}_3(t))\,dt
\)

Also:

\(\displaystyle
\int_R rot\left(
          \begin{array}{c}
            v_1\\
            0\\
            0
          \end{array}
        \right)(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)\,du\,dv=
\int_I v_1(k(t))\cdot \dot{k}_1(t)\,dt
\)

Also:

\(\displaystyle
\int_R rot\left(
          \begin{array}{c}
            f\\
            0\\
            0
          \end{array}
        \right)(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)\,du\,dv=
\int_I f(k(t))\cdot \dot{k}_1(t)\,dt
\) und

\(\displaystyle
\int_R rot\left(
          \begin{array}{c}
            0\\
            f\\
            0
          \end{array}
        \right)(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)\,du\,dv=
\int_I f(k(t))\cdot \dot{k}_2(t)\,dt
\) und

\(\displaystyle
\int_R rot\left(
          \begin{array}{c}
            0\\
            0\\
            f
          \end{array}
        \right)(s(u,v))\cdot(\partial_u s\times\partial_v s)\,du\,dv=
\int_I f(k(t))\cdot \dot{k}_3(t)\,dt
\)

Also:

\(\displaystyle\int_R
\left(
          \begin{array}{c}
            rot\left(
          \begin{array}{c}
            f\\
            0\\
            0
          \end{array}
        \right)\cdot\vec{n}\\
            rot\left(
          \begin{array}{c}
            0\\
            f\\
            0
          \end{array}
        \right)\cdot\vec{n}\\
            rot\left(
          \begin{array}{c}
            0\\
            0\\
            f
          \end{array}
        \right)\cdot\vec{n}
          \end{array}
        \right)\cdot
\|\partial_u s\times\partial_v s\|\,du\,dv=\displaystyle\int_A
\left(
          \begin{array}{c}
            rot\left(
          \begin{array}{c}
            f\\
            0\\
            0
          \end{array}
        \right)\cdot\vec{n}\\
            rot\left(
          \begin{array}{c}
            0\\
            f\\
            0
          \end{array}
        \right)\cdot\vec{n}\\
            rot\left(
          \begin{array}{c}
            0\\
            0\\
            f
          \end{array}
        \right)\cdot\vec{n}
          \end{array}
        \right)\,dS=
\displaystyle\int_A
\left(
          \begin{array}{c}
            \partial_3 f\cdot n_2-\partial_2 f\cdot n_3 \\
            \partial_1 f\cdot n_3-\partial_3 f\cdot n_1 \\
            \partial_2 f\cdot n_1-\partial_1 f\cdot n_2
          \end{array}
        \right)\,dS=
\displaystyle\int_A \vec{n}\times\left(
          \begin{array}{c}
             \partial_1 f \\
             \partial_2 f \\
             \partial_3 f
          \end{array}
        \right)\,dS=
\displaystyle\int_A \vec{n}\times grad(f)\,dS\)

und das ist gleich zu:

\(\displaystyle\int_I f(k(t))
\left(
          \begin{array}{c}
             \dot{k}_1(t) \\
             \dot{k}_2(t) \\
             \dot{k}_3(t)
          \end{array}
        \right)\,dt=
\int_{\partial A}f\,d\vec{s}
\)  

Also gilt:

\(\displaystyle\int_A \vec{n}\times grad(f)\,dS=\int_{\partial A}f\,d\vec{s}\)

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Danke euch.



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Cyborg
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Hier stand Mist!



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Cyborg
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Hier stand Mist!



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Cyborg
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Mir sind die Beweise für (2) und (3) inzwischen gelungen!


Ich habe oben viel Mist geschrieben, außer für (1)!
Ich muss korrigieren!

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Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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