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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Krümmungsvektor orthogonal zu Einheitstangente
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Universität/Hochschule Krümmungsvektor orthogonal zu Einheitstangente
mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-16


Schönen Sonntag zusammen,



Der Krümmungsvektor einer Kurve $c:I\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ ist ja definiert als die zweimalige Ableitung bezüglich Bogenlängenparameter, also $\vec{K}=\frac{d^2}{ds^2}c = \frac{d}{ds}\vec{T} = \frac{1}{|c'|}\frac{d}{dt} (\frac{c'}{|c'|})$ ($\vec{T}$ ist dabei natürlich die Einheitstangente an die Kurve c).
Die Krümmung selbst ist dann definiert als $\kappa = \langle \vec{K}, \vec{T}\rangle$. Soweit noch keine Unklarheiten. Was mich nun verwirrt, ist die folgende Ungleichungskette:
$\langle \vec{K}, \vec{T}\rangle = \langle \frac{d}{ds}\vec{T}, \vec{T}\rangle = \langle \frac{1}{|c'|} \frac{d}{dt}\vec{T}, \vec{T}\rangle = \frac{1}{|c'|} \langle \frac{d}{dt}\vec{T}, \vec{T}\rangle = \frac{1}{|c'|} \frac{1}{2} \frac{d}{dt}\langle \vec{T},\vec{T}\rangle$ wobei im letzten Schritt einfach das $1/2$ daherkommt, dass wenn man die Produktregel und die Symmetrie vom SKP ausnutzt, sich eine 2 ergibt - diese kürzt sich dann genau mit dem $1/2$ weg.
Nun gilt aber weiters:
$\frac{1}{|c'|} \frac{1}{2} \frac{d}{dt}\langle \vec{T},\vec{T}\rangle = \frac{1}{|c'|} \frac{1}{2} \frac{d}{dt}1 = 0$.

Folglich wären Krümmungsvektor und Einheitstangente stets orthogonal (und damit ja immer die Krümmung $\kappa$ gleich 0). Ich vermute, dass in dem Schritt, wo die Ableitung aus dem SKP gezogen wird, irgendetwas schief geht - ich sehe aber nicht was. Bitte um Hilfe! 😄

Danke - Grüße!

P.S. mit $\frac{d}{dt}$ ist einfach die gewöhnlich Ableitung gemeint, also nicht wie die Ableitung bzgl. Bogenlängenparameter $\frac{d}{ds}$



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-16


2021-05-16 13:01 - mathsmaths im Themenstart schreibt:
Die Krümmung selbst ist dann definiert als $\kappa = \langle \vec{K}, \vec{T}\rangle$. Soweit noch keine Unklarheiten.

Doch: Mir ist unkar, wie du auf diese Definition der Krümmung kommst.



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mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Hi zippy,

Die Krümmung einer Kurve wurde bei uns genau so eingeführt, also $\kappa = \langle \vec{K},\vec{T}\rangle$ bzw. $\vec{K} = \kappa \, \vec{T}$.
Stimmt denn die von mir angegebene Rechnung?

Grüße



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mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Sorry sorry ich habe mich vertan! alles gut, mein Fehler. Ich konnte meine eigene Schrift nur nicht erkennen. Statt $\vec{T}$ gehört natürlich $\vec{N}$!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-16


2021-05-16 13:39 - mathsmaths in Beitrag No. 2 schreibt:
Die Krümmung einer Kurve wurde bei uns genau so eingeführt, also $\kappa = \langle \vec{K},\vec{T}\rangle$ bzw. $\vec{K} = \kappa \, \vec{T}$.

Dann ist $\vec K$ nicht so definiert, wie du es hingeschrieben hast.

2021-05-16 13:39 - mathsmaths in Beitrag No. 2 schreibt:
Stimmt denn die von mir angegebene Rechnung?

Ja. (Dass die Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag senkrecht auf diesem Vektor steht, ist eine recht bekante Aussage.)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Hi zippy,

danke nochmals, du hast vermutlich meinen kurzen Einschub noch nicht gesehen, ich hatte mich bei der Definition von Krümmung vertan. Alles gut! Danke. 🙂



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