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Analysis » Folgen und Reihen » Berechnung von Summen durch Isolation
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Universität/Hochschule Berechnung von Summen durch Isolation
TeacherInSpe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-16


Hallo!
Ich bräuchte noch einmal Eure Hilfe.

Berechnet werden sollen folgende Summen durch Isolation:

a) fed-Code einblenden
b) fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Bei a) habe ich bisher folgendes Vorgehen:
fed-Code einblenden
Erhöhung der Summationsgrenze um 1:
fed-Code einblenden
Verschiebung des Summationsindex auf der linken Seite ergibt:
fed-Code einblenden
Umwandlung der linken Seite:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Und das ist gleich:
fed-Code einblenden

Wenn ich es richtig verstanden habe, muss ich nun einen Ausdruck für
fed-Code einblenden
finden, um die Gleichung nach
fed-Code einblenden
umstellen und damit lösen zu können.

Bei Aufgabe 2 habe ich erneut dieses Problem...

Ich wäre sehr dankbar, wenn einer eine Idee hätte!



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-16


2021-05-16 15:12 - TeacherInSpe im Themenstart schreibt:
Hallo!
Ich bräuchte noch einmal Eure Hilfe.

Berechnet werden sollen folgende Summen durch Isolation:

a) fed-Code einblenden
b) fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Bei a) habe ich bisher folgendes Vorgehen:
fed-Code einblenden
Erhöhung der Summationsgrenze um 1:
fed-Code einblenden
Ich nehme an, dass Du mit $s_{n}$ und $S_{n}$ das selbe meinst.

Verschiebung des Summationsindex auf der linken Seite ergibt:
fed-Code einblenden
Achtung: Änderung des Wertebereichs für den Summationsindex!

Umwandlung der linken Seite:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Und das ist gleich:
fed-Code einblenden

Wenn ich es richtig verstanden habe, muss ich nun einen Ausdruck für
fed-Code einblenden
finden, um die Gleichung nach
fed-Code einblenden
umstellen und damit lösen zu können.
Tipp: Berechne diese Summe für kleine $n$. Sollte es dann imer noch Schwierigkeiten geben, nochmal nachfragen.

Bei Aufgabe 2 habe ich erneut dieses Problem...

Ich wäre sehr dankbar, wenn einer eine Idee hätte!



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TeacherInSpe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Das habe ich gemacht, komme aber dennoch nicht weiter...

Für die Summe, ohne das (-1) habe ich für...
... n=1: -1
... n=2: (-1)+1=0
... n=3: (-1)+1+(-1)=-1
also immer im Wechsel (-1) und 0 bzw. 1 und 0, falls man das (-1) berücksichtigt. Dafür finde ich aber keine Formel, die ich durch n ausdrücken kann.

Im Beispiel aus der VL war es diese Summe
fed-Code einblenden
Bei der ergibt sich:
n=0: 2
n=1: 6
n=2: 14
n=3: 30
Was man auch ausdrücken kann durch
fed-Code einblenden

Aber ich sehe leider nicht, wie ich hier auf eine entsprechende Verbindung komme, außer, ich würde nach geradem und ungeradem n differenzieren.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

für die erste kannst du

\[S_n=-\frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2}\]
als Darstellung verwenden.
Die zweite verrate ich nicht, da ist die Darstellung dermaßen bekannt, da solltest du selbst darauf kommen.

EDIT: das war falsch, siehe dazu den folgenden Beitrag.

PS: könntest du (zumindest mir) einmal noch erläutern, was es mit dieser Methode namens 'Isolation' auf sich hat? Ich kann den Sinn dahinter nicht so ganz erkennen, um ehrlich zu sein, und ich höre bzw. lese den Begriff zum ersten mal.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Kombinatorik & Graphentheorie' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-16


Nachtrag:
mein obiger Vorschlag für die erste Summe stimmt nicht, ich hatte mich verlesen (verleitet durch dein falsches Resultat):

2021-05-16 16:53 - TeacherInSpe in Beitrag No. 2 schreibt:
Für die Summe, ohne das (-1) habe ich für...
... n=1: -1
... n=2: (-1)+1=0
... n=3: (-1)+1+(-1)=-1
also immer im Wechsel (-1) und 0 bzw. 1 und 0, falls man das (-1) berücksichtigt...

Das ist wie gesagt falsch. Rechne nochmal nach!


Gruß, Diophant



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TeacherInSpe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Vielen Dank!

Also muss man wirklich unterscheiden...

Der Name Isolation soll darauf hindeuten, dass man das erste bzw. letzte Glied aus dem Summanden rauszieht um so auf eine Berechnungsvorschrift zu kommen, mit der man gleich das n-te Glied berechnen kann, ohne die ganze Reihe zu berechnen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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TeacherInSpe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Ich stehe scheinbar echt auf dem Schlauch.😴

Wenn ich die Summe habe
fed-Code einblenden

Dann berechnet sich das erste Glied aus
fed-Code einblenden
Das zweite aus
fed-Code einblenden
Das dritte aus
fed-Code einblenden
usw.
Wo ist der Fehler?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

du hast aber nunmal die Summe

\[\sum_{k=1}^n (-1)^k\cdot k\]
2021-05-16 17:25 - TeacherInSpe in Beitrag No. 5 schreibt:
Der Name Isolation soll darauf hindeuten, dass man das erste bzw. letzte Glied aus dem Summanden rauszieht um so auf eine Berechnungsvorschrift zu kommen, mit der man gleich das n-te Glied berechnen kann, ohne die ganze Reihe zu berechnen.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Tut mir leid, ich verstehe es immer noch nicht. Was meinst du mit dem 'n-ten Glied'?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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TeacherInSpe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Bei a) habe ich bisher folgendes Vorgehen:
fed-Code einblenden
Erhöhung der Summationsgrenze um 1:
fed-Code einblenden

An dieser Stelle wird neben dem n-ten auch das n+1-te Glied betrachet, also die Summe danach aufgesplittet bzw. Teile isoliert.

Verschiebung des Summationsindex auf der linken Seite ergibt:
fed-Code einblenden
Umwandlung der linken Seite:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Und das ist gleich:
fed-Code einblenden

Wenn ich es richtig verstanden habe, muss ich nun einen Ausdruck für
fed-Code einblenden
finden, um die Gleichung nach
fed-Code einblenden
umstellen und damit lösen zu können.

Habe jetzt für ungerade n diese Summe
fed-Code einblenden
gleich 0 gesetzt und dann alles nach
fed-Code einblenden
aufgelöst.
Das passte dann, weil sich für ungerade n insgesamt ergibt:
fed-Code einblenden
Das ergibt dann für die Ursprungssumme die jeweiligen Werte, jedenfalls für ungerade n.



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Riemannifold
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-16


Du kannst zwei aufeinanderfolgende Summanden der Summe bequem zusammenfassen. Das kann dann so aussehen:

$$\sum_{k=1}^n(-1)^kk = \sum_{j=1}^{n/2} (-1)^{2j-1}(2j-1) + (-1)^{2j}(2j) = \sum_{j=1}^{n/2} -(2j - 1) + 2j = \sum_{j=1}^{n/2} 1 = n/2.$$
Dies funktioniert allerdings nur für gerade $n$, für ungerade $n$ ist das alles ein wenig technischer, aber nicht wirklich komplizierter.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

nach wie vor verschiebst du deinen Summationsindex falsch. Wenn du die obere Grenze um eins nach unten setzt, musst du das bei der unteren ebenfalls tun und umgekehrt.

Was den Sinn dieser Summe \(\sum_{k=1}^n (-1)^k\) angeht, den habe ich jetzt verstanden (auch diese muss jedoch \(\sum_{k=0}^n (-1)^k\) lauten). Diese Summe alterniert in der Tat zwischen den Werten -1 und 0 hin und her, bzw. in der korrekten Form zwischen 1 und 0. Dann könntest du den Term aus Beitrag #3 dafür verwenden (mit angepassten Vorzeichen).

Nur: was der Sinn des ganzen sein soll, das erschließt sich mir nach wie vor nicht. Denn was macht es für einen Unterschied, ob man nun für eine Summe \(S_n\) eine explizite Darstellung sucht oder für \(S_{n+1}\)?

In welchem (Sach-)Zusammenhang stehen diese Aufgaben denn?


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Das ganze soll es vereinfachen, für die Summenglieder schnell einen Wert zu bekommen, indem man das erste oder letzte Glied herauszieht. Oberthema sind (diskrete) Summen.
So kann man bspw. die Formel für die geometrische Reihe ausrechnen.
Da hat man als vorletzten Schritt dann:
fed-Code einblenden

Wenn man dann die Gleichung
fed-Code einblenden
auflöst, erhält man die bekannte Formel:
fed-Code einblenden



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-16


Ah, jetzt ist bei mir der Groschen gefallen.

Wie gesagt: im wesentlichen müsstest du noch deinen Fehler bei der Indexverschiebung beheben (dort, wo er sich auswirkt).

Ich denke vor dem Hintergrund über die beiden Summen nochmal nach (bei der ersten habe ich jetzt ein Resultat).

PS: und es sollen nicht die Summenglieder dargestellt werden, sondern die Summe selbst - und zwar explizit.


Gruß, Diophant



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16


Dankeschön, Du hast mir trotz der Missverständnisse weitergeholfen.👍

Habe jetzt auch den Term für gerade Zahlen raus, dann ergibt sich nur n/2



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-05-16


Hallo,

2021-05-16 18:46 - TeacherInSpe in Beitrag No. 13 schreibt:
Dankeschön, Du hast mir trotz der Missverständnisse weitergeholfen.👍

Habe jetzt auch den Term für gerade Zahlen raus, dann ergibt sich nur n/2

Ja, das stimmt für gerade n. Aber der Sinn des ganzen wird doch wohl sein, die Summen jeweils für alle n durch einen Ausdruck geschlossen darzustellen?


Gruß, Diophant



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