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Schule [Oberstufe] Polynome, Nullstellen und ein Intervall
easymathematics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-16


Hallo,

ich habe mir eine kleine Aufgabe überlegt und ich denke, sie ist für die Oberstufe gut geeignet.

Sei p(x) = ax² + bx + c mit a, b, c reell.

Wir definieren h(x) = p(x) + p'(x) + p''(x).

Habe h(x) zwei reelle Nullstellen h1 < h2.

Zeige:

p(x) hat zwei reelle Nullstellen p1 < p2.

Wahr oder falsch?

Im Intervall [h2, p2] gibt es mindestens eine ganze Zahl.

Lösungen können hier gerne versteckt gepostet werden.
Oder Ihr spielt damit einfach zu Hause herum.

Natürlich darf jeder mitmachen, so ist es nicht.
Mit "Oberstufe" will ich die Schwierigkeit ein wenig einordnen.

LG, easymathematics



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-16


Schöne Aufgabe ;) - aber kann es sein, dass du p''(x)/2 meinst?

Edit: okay. Das geht wohl auch so ^^



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easymathematics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


Danke. :)

Jeztt bin ich beruhigt. :D

Kann natürlich gut sein, dass einem bei der Konstruktion kleine Fehlerchen unterlaufen. :D



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-17


Meine Überlegung ^^


Man kann auch erstmal selber rechnen ;)


\(p(x) = ax^2 + bx + c\\
\to h(x) = p(x) + p'(x) + p''(x) = ax^2 + (2a+b)x + (2a+b+c)\\
\to D_h = (2a+b)^2 - 4a(2a+b+c) = b^2 - 4a^2 - 4ac > 0\\
\to D_p = b^2 - 4ac = D_h + 4a^2 > 0\)

Damit hat auch p(x) 2 Lösungen, da deren Diskriminante positiv ist, wenn auch jene von h(x) positiv ist. Dabei ist 4a^2 für alle reellen a immer positiv (das hatte ich erst übersehen) - ich hatte daher diese Variante:

\(p(x) = ax^2 + bx + c\\
\to g(x) = p(x) + p'(x) + \frac{1}{2}p''(x) = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)\\
\to D_g = (2a+b)^2 - 4a(a+b+c) = b^2 - 4ac > 0\\
\to D_p = b^2 - 4ac = D_g > 0\)
Hier wären die Diskriminanten sogar identisch xD


Die einzelnen größeren Nullstellen sind dabei:
\(h_2 = -1-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2 - 4a^2 - 4ac}}{2a}\\
g_2 = -1-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
p_2 = -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Man erkennt leicht:
\(h_2 \leq g_2 = p_2 - 1\)

Damit ist: \(p_2 - g_2 = 1\) - und damit in dem Intervall min. eine ganze Zahl.
Ebenso: \(p_2 - h_2 \geq 1\)




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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-17


Eine weiterführende Frage, die ich mir stelle...

Sei \(p(x)\) ein Polynom, ist dann immer:
\(p(x+1) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{p^{(i)}(x)}{i!}\)

Vermutlich ist der Beweis trivial, und ich seh das gerade nur nicht xD


Edit:

Die Taylor-Reihe der Funktion p(x+1) an der Stelle x. #done




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easymathematics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


Ja, die Überlegungen passen natürlich. :)

Über Deine Frage denke ich in einer ruhigen Minute nach.

Die nächsten Tage habe ich noch eine hübsche Ungleichung für Dich. :D

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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easymathematics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Ja genau, Taylor-Reihe. :)



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-18


Warum erscheint dieser Thread nicht bei Rätseln oder ist das ein Bug xD



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-18


2021-05-18 23:40 - MartinN in Beitrag No. 7 schreibt:
Warum erscheint dieser Thread nicht bei Rätseln oder ist das ein Bug xD




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