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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Polynom finden, dessen Galoisgruppe bestimmten Isomorphietyp besitzt
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Universität/Hochschule Polynom finden, dessen Galoisgruppe bestimmten Isomorphietyp besitzt
lhn29
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-18 14:00


Hallo,

Ich muss in einer Aufgabe Polynome in Q[x] bestimmen, deren Galoisgruppe einen bestimmten Isomorphietyp besitzen.

In meinem Fall einmal \[C_2 \times C_{12}\] und einmal \[C_3 \times C_3\]
Ich habe leider gar keinen Ansatz und würde mich sehr über einen Denkanstoß freuen.

Danke und viele Grüße.



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-22 09:55


Hallo,

was weißt du über Kreisteilungskörper?



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lhn29
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-22 10:08


Hallo,

Das sind doch einfach die Körper, wo wir zu Q die n-ten Einheitswurzel adjungieren.
Und die n-ten Einheitswurzeln sind die Nullstellen von
\[x^n-1\]



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-22 12:34


Und was sind deren Galoisgruppen über $\mathbb{Q}$?



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lhn29
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25 14:46


Die Galois-Gruppe ist isomorph zur Einheitengruppe von \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-28 16:27


Jetzt musst du ein geeignetes $n$ finden so, dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ eine Quotientengruppe (äquivalent für endliche abelsche Gruppen: Untergruppe) deine Gruppen hat.



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