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Analysis » Folgen und Reihen » Potenzreihen
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Universität/Hochschule Potenzreihen
MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-18


Hey Leute,

mich beschäftigt zur Zeit eine Frage über Potenzreihen. Und zwar sind ja per Definition Potenzreihen lediglich Funktionenreihen der Form
\[\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot(z-z_0)^n\] Manchmal kommt es aber vor, dass auch Funktionenreihen wie zum Beispiel \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n\cdot x^{3n}\cdot\) als Potenzreihen bezeichnet werden, obwohl sie nicht in der definierten Form vorliegen. Könnt ihr mir verraten, ob es hinreichende Bedingungen gibt, unter denen eine Funktionenreihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty f_n(x)\) in die Form einer Potenzreihe gebracht werden kann und wie das allgemein funktioniert? Ich denke das zu wissen ist eine mächtige Information, weil ja Potenzreihen besondere Eigenschaften haben.




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-18


Hallo,

hm. Warum bist du der Ansicht, dass dein Beispiel nicht der definierten Form entspricht?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]



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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Weil in der allgemeinen Form der Exponent nur ein \(n\) ist und bei dem Beispiel ein \(3n\). Da kommt bei mir die Frage auf, ob auch z.B. \(\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n\cdot x^{n^2}\) eine Potenzreihe ist oder \(\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n\cdot x^{\sin(n)}\). Und dann eben noch allgemeiner, ob nicht jede Funktionenreihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty f_n(x)\) eine Potenzreihe ist.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das Beispiel mit dem Sinus als Exponent entspricht nicht der Definition, das ist soweit richtig. Dein erstes Beispiel könnte man genausogut so notieren:

\[\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot x^n\quad,\quad a_n:=\bc 3^{n/3}\ &,\ 3\mid n\\ 0\ &,\ 3\nmid n\ec\]
Und schon entspricht die Reihe der Definition.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Mit welcher Begründung ziehst du beim Sinus eine Grenze?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-18


2021-05-18 15:48 - MasterWizz in Beitrag No. 4 schreibt:
Mit welcher Begründung ziehst du beim Sinus eine Grenze?

Die Exponenten der Variablen sind bei Potenzreihen natürliche Zahlen.


Gruß, Diophant



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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Also lässt sich eine Funktionenreihe genau dann in eine Potenzreihe umformen, wenn sie in der Form \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot x^{g(n)}\) gegeben ist und der Wertebereich von \(g(n)\) eine Teilmenge der natürliche Zahlen ist?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-18


Na ja, auch dafür würden sich Beispiele konstruieren lassen. Aber der Begriff der Funktionenreihe ist ja viel allgemeiner gefasst, das ist ja nicht nur auf Potenzen der unabhängigen Variablen beschränkt.

Gibt es einen aktuellen Anlass bzw. ein Beispiel für deine Frage?


Gruß, Diophant



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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Ja der Anlass ist, dass ich mich mit den Konvergenzeigenschaften von Funktionenreihen beschäftige. Funktionenreihen lassen sich ja beispielsweise gliedweise ableiten und integrieren, wenn sie gleichmäßig konvergieren. Und da Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzradius gleichmäßig konvergieren und sich ein Konvergenzradius sehr einfach bestimmen lässt, kam schnell die Frage auf, welche Funktionenreihen eigentlich auch Potenzreihen sind.

In einem anderen Forum kam mal folgende Idee auf:
\[\sum\limits_{n\geq0}^\infty a_n\cdot x^{g(n)} = \sum\limits_{n\geq0}b_n\cdot x^n,\quad \text{mit } b_n=\sum\limits_{k\in g^{-1}(n)}a_k\] Allerdings war sich da keiner wirklich sicher und nachdem ich es nicht mal wirklich auf das Beispiel \(\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n x^{n^2}\) anwenden konnte und erst recht nicht auf das Sinus Beispiel, dachte ich, frag ich mal hier nach. Ihr habt bisher immer super Ideen gehabt und wenn mir nur jemand Literatur empfehlen kann, dann könnte ich wieder selbst ein Stück weiter kommen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

bei dem Versuch aus dem anderen Forum macht der Index \(k\in g^{-1}(n)\) in meinen Augen keinen Sinn, denn es ist ja in der Regel \(g^{-1}(n)=\IN\).

EDIT:
Sorry, das war falsch. Da hatte ich mich 'verlesen' bzw. diese Notation falsch aufgefasst. Siehe dazu Beitrag #11 von zippy.

Bei Funktionenreihen wird man i.a. auf die üblichen Konvergenzkriterien von Reihen zurückgreifen müssen, außer in den Fällen eben, wo es eine solche Umformung gibt.

Deine Frage ist natürlich verlockend, aber wie gesagt: eine solche Möglichkeit würde ich als Spezialfall bezeichnen. Wie willst du denn bspw. so etwas wie \(x^{\sin(n)}\) in eine Potenz der Form \(\xi^n\) umwandeln?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Ok ich verstehe. Das von einem Profi wie dir zu hören, zeigt mir auch, dass ich vlt in einer anderen Richtung weitersuchen sollte.

Trotzdem würde ich gern grob abschätzen können, welche Funktionenreihen überhaupt möglich sind in Potenzreihen umzuformen, um dann deren Konvergenzradius zu bestimmen.

Mit welcher Begründung würdest du denn sagen, dass z.B. \(\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n\cdot x^{n^2}\) eine Potenzreihe ist? Und wie würde hier die Zahlenfolge \(a_n\) lauten in der Form \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n\)?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-18


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-05-18 16:36 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
denn es ist ja in der Regel \(g^{-1}(n)=\IN\).
\(\endgroup\)

Wie kommst du darauf? Das würde doch bedeuten, dass $g$ in der Regel konstant ist.

Solange $g$ immer nur endlich viele Indizes auf einen Exponenten abbildet, ist die Konstruktion aus Beitrag Nr. 8 sinnvoll. Sie liegt ja z.B. auch dem Cauchy-Produkt zugrunde:$$ \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n\right)
\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\,x^n\right) =
\sum_{m,n=0}^\infty a_m\,b_n\,x^{m+n} =
\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k+l=n}a_k\,b_l\right)\,x^n
$$Hier ist $g\colon\mathbb N^2\to\mathbb N$, $g(k,l)=k+l$ und $g^{-1}(n)=\{(k,l)\in\mathbb N^2:k+l=n\}$.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

\(x^{n^2}\) ist eine Potenz von x mit natürlichen Exponenten. Also kann man versuchen, den Koeffizienten so von n abhängig zu machen, dass er im Fall, dass n eine Quadratzahl ist, die gewünschte 3er-Potenz annimmt und ansonsten gleich Null ist. Ob da dann bspw. etwas herauskommt, wo man den Konvergenzradius bestimmen kann, ist ja wieder eine andere Frage (hier nach Cauchy-Hadamard schon, wenn ich nichts übersehe).

Was man eben häufig hat, das sind Reihen der Form \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{k\cdot n}\) mit \(k\in\IN\). Und da ist es relativ einfach, da man \(y=x^k\) substituieren kann, für die Potenzreihe mit \(y\) auf dem üblichen Weg den Konvergenzradius bestimmt und den Konvergenzradius für die eigentliche Reihe dann über die Rücktransformation bekommt.

Nehmen wir einmal die Reihe

\[\sum_{n=0}^{\infty}2^nx^{2n}\]
Mit \(y=x^2\) führen wir diese Reihe auf die Reihe

\[\sum_{n=0}^{\infty}2^ny^n\]
zurück, deren Konvergenzradius offensichtlich \(r=\frac{1}{2}\) ist. Das gilt für die Variable \(y\). Für die ursprüngliche Reihe bekommen wir dann mit \(y=x^2\iff|x|=\sqrt{y}\) einen etwas größeren Konvergenzradius von \(r=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Das nur als Beispiel für eine 'unproblematische Funktionenreihe'. Je komplizierter die Transformation in eine Potenzreihe nach Definition wird, desto schwieriger wird dann eben auch die Bestimmung des Konvergenzradius.

2021-05-18 16:59 - MasterWizz in Beitrag No. 10 schreibt:
Das von einem Profi wie dir zu hören...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Übertreiben wir mal nicht. Die Profis hier sind andere, aber danke für die Blumen. 😉

@zippy:
2021-05-18 17:12 - zippy in Beitrag No. 11 schreibt:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-05-18 16:36 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
denn es ist ja in der Regel \(g^{-1}(n)=\IN\).
\(\endgroup\)
Wie kommst du darauf? Das würde doch bedeuten, dass $g$ in der Regel konstant ist.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Da hast du recht, (da hatte ich die Notation falsch interpretiert). Danke für die Korrektur!


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Super vielen Dank! Durch den Trick mit linearem Exponenten lässt sich das ja wirklich leicht mit Substitution lösen. Wie lässt sich zeigen, dass es sich bei
\[\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^{n^k}\] um eine Potenzreihe handelt?

Und @zippy, hast du eine Idee unter welchen hinreichenden Bedingungen sich eine Funktionenreihe in eine Potenzreihe umschreiben lässt? Bzw. kannst du argumentieren, warum \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot x^{\sin(n)}\) eine, bzw. keine Potenzreihe ist?



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@MasterWizz:
2021-05-18 21:28 - MasterWizz in Beitrag No. 13 schreibt:
Super vielen Dank! Durch den Trick mit linearem Exponenten lässt sich das ja wirklich leicht mit Substitution lösen. Wie lässt sich zeigen, dass es sich bei
\[\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^{n^k}\] um eine Potenzreihe handelt?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das hatten wir doch oben schon. Wenn \(k\in\IN\), dann auch generell \(n^k\in\IN\). Und damit ist es ein Potenzreihe nach Definition. Die Koeffizienten, die nicht zu k. Potenzen von \(n\) gehören, setzt man einfach gleich Null, die anderen übernimmt man komplett aus der ursprünglichen Reihe.

Für nicht natürliche \(k\) hat du ja rationale oder irrationale Exponenten. Dann ist es halt keine Potenzreihe.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Ach ja klar, sry. Also sobald nur natürliche Zahlen im Exponent auftauchen, ist es eine Potenzreihe, weil wir die übrigen Summanden zu Null setzen können. Stark, danke dir!! :)



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