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| Autor |
  Definitheit Hesse-Matrix |
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Eric_H
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.04.2020
Mitteilungen: 64
 |  Themenstart: 2021-05-20
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Hallo Zusammen,
ich habe Probleme die Definitheit mit den mir verfügbaren "Tools" festzustellen.
Es geht um folgende Funktion:
\( x^3 +3xy + x^2 + y^2 \)
Daraus folgt
\( D_1 f(x,y) = 3x^2 + 3y + 2x \)
\( D_2 f(x,y) = 3x + 2y \)
Aus \( f'(x,y) = 0 \) folgen die kritische Punkte
\( ( \frac{-2}{3},0) \) und \( (0,0) \)
Die Einträge in der Hesse Matrix sind
\( D_{11} f(x,y) = 6x + 2 \)
\( D_{12} f(x,y) = 3 \)
\( D_{21} f(x,y) = 3 \)
\( D_{22} f(x,y) = 2 \)
Einträge in der Hesse Matrix für \( (\frac{-2}{3},0) \)
\( D_{11} f(x,y) = -2 \)
\( D_{12} f(x,y) = 3 \)
\( D_{21} f(x,y) = 3 \)
\( D_{22} f(x,y) = 2 \)
Einträge in der Hesse Matrix für \( (0,0) \)
\( D_{11} f(x,y) = 2 \)
\( D_{12} f(x,y) = 3 \)
\( D_{21} f(x,y) = 3 \)
\( D_{22} f(x,y) = 2 \)
Um die Definitheit festzustellen habe ich folgendes zur Verfügung:
\( Q(u) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} u_i u_j \)
\( (\frac{-2}{3},0) \) prüfen:
\( Q(u) = u \cdot H( \frac{-2}{3},0 )u = -2u_1^2 + 3 u_1 u_2 + 3 u_2 u_1 + 2u_2^2 \)
Demnach kann also Q(u) sowohl positiv als auch negativ werden.
Und Q(u) ist indefinit.
Wenn ich mir aber den Graph zu dieser Funktion anschaue sieht mir der Punkt \( (\frac{-2}{3},0) \) nach einem lokalem Maximum aus.
Also vermute ich, dass ich die Funktion Q(u) falsch anwende und
Q(u) negativ definit sein müsste.
Hat jemand eine Idee, wo mein Fehler liegen könnte?
Danke
Gruß Eric
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10524
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
hm. Wie kommst du für \(\nabla f=0\) auf die zweite Lösung \(x=-2/3\)? Ich erhalte da den Wert \(x_2=\frac{5}{6}\).
Könnte es allein damit zusammenhängen?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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Eric_H
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.04.2020
Mitteilungen: 64
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-20
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Hallo Diophant,
sorry, irgend etwas habe ich durcheinander gebracht.
Die Funktion lautet \( f(x,y) = x^3 + 3xy^2 + x^2 + y^2\).
Also nochmal, daraus folgt:
\( D_1 f(x,y)=3x^2+2x+3y^2 \)
\( D_2 f(x,y)=6xy+2y \)
Aus \( f′(x,y)=0 \) folgen die kritische Punkte \( (\frac{-2}{3},0) \) und \( (0,0) \)
Die Einträge in der Hesse Matrix sind
\( D_{11}f(x,y)=6x + 2 \)
\( D_{12}f(x,y)=6y \)
\( D_{21}f(x,y)=6y \)
\( D_{22}f(x,y)=6x + 2 \)
Einträge in der Hesse Matrix für \( (\frac{-2}{3},0) \)
D11f(x,y)=−2
D12f(x,y)=0
D21f(x,y)=0
D22f(x,y)=-2
Einträge in der Hesse Matrix für \( (0,0) \)
D11f(x,y)=2
D12f(x,y)=0
D21f(x,y)=0
D22f(x,y)=2
Dann ist \( Q(u) = u \cdot H( \frac{-2}{3},0 )u = -2u_1^2 - 2u_2^2 \)
Damit ist Q(u) negativ definit und an dem Punkt \( f(\frac{-2}{3},0) \) ist ein lokales Maximum.
Und es ist \( Q(u) = u \cdot H( 0,0 )u = 2u_1^2 + 2u_2^2 \)
Damit ist Q(u) positiv definit und an dem Punkt \( f(0,0) \) ist ein lokales Maximum.
Ich glaube so könnte es jetzt stimmen.
So passt es jetzt zumindest mit dem Garphen überein.
Gruß Eric
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10524
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ok, das ist ja jetzt eine andere Funktion als im Themenstart. Dennoch: auch hier hast du dich wieder bei der von Null verschiedenen x-Koordinate verrechnet. Rechne nochmal nach!
Die Einträge der Hesse-Matrix passen, dann sind ja sicherlich auch die ersten Ableitungen richtig. Der Fehler muss also bei der Lösung des Gleichungssystems \(\nabla f=0\) passieren.
\quoteon(2021-05-20 19:40 - Eric_H in Beitrag No. 2)
Und es ist \( Q(u) = u \cdot H( 0,0 )u = 2u_1^2 + 2u_2^2 \)
Damit ist Q(u) positiv definit und an dem Punkt \( f(0,0) \) ist ein lokales Maximum.
\quoteoff
Nee, das muss dann ein Minimum sein bzw. es ist eines (hattest du vermutlich auch gemeint?).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Eric_H
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.04.2020
Mitteilungen: 64
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-21
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Guten Morgen,
ja, stimmt im Punkt (0,0) habe ich eigentlich ein Minimum gemeint.
Das lösen des Gleichungssystems \( \nabla f=0 \) macht mir tatsächlich Probleme. Rein rechnerisch weiß ich nicht wie ich das lösen soll.
Mein Ansatz war folgender.
Für \( \nabla f=0 \) gilt:
\( 3x^2+2x+3y^2 = 0 \)
\( 6xy+2y = 0 \)
Es ist offensichtlich, dass (0,0) eine Lösung ist.
Dann habe ich geschaut wann \( 3x^2+2x = 0 \) wird.
So bin ich auf die -2/3 gekommen.
Gibt es nur die Lösung (0,0)?
Gruß Eric
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-21
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Hallo,
Ich arbeite mit den Gleichungen, die du als letztes gepostet hast:
I: $3x^2+3y^2+2x=0$
II: $6xy+2y=0$
Hier sollte man mit Fallunterscheidungen arbeiten um keine möglichen Lösungen zu übersehen.
Fall 1: Falls $x=0$, so liefert II, dass auch $y=0$ sein muss.
Fall 2: Falls $y=0$, so liefert I, dass $x=0$ oder $x=-\frac 23$.
Fall 3: $x\neq0$ und $y\neq 0$, dann liefert Gleichung II, dass $6x+2=0$, also $x=-\frac 13$. Einsetzen in I liefert dann
$$
3y^2-\frac 13=0 \ \Longleftrightarrow \ y=\pm \frac 13.
$$
Insgesamt erhalten wir also: $(0,0),(-\tfrac 23,0),(-\tfrac 13,\pm \tfrac 13)$ für die kritischen Punkte.
LG Nico
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Eric_H
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.04.2020
Mitteilungen: 64
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-21
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Hallo,
danke an euch!
Gruß Eric
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Eric_H hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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