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| Autor |
  Globale Maxima/Minima bestimmen |
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X3nion
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1051
 |  Themenstart: 2021-05-20
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Guten Abend zusammen,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei $f: \IR^2 \to \IR$, $f(x,y) = x^3+3xy^2+x^2+y^2$
und betrachte die Einschränkung von $f$ auf der Einheitskreisscheibe
$B:= \{(x,y) \in \IR^2 \; | \; x^2+y^2 \le 1\}$.
Zu zeigen ist, dass $f|_B$ auf $B$ ihr globales Minimum und globales Maximum annimmt und diese globalen Extrema und alle Punkte in $B$, in welchen die globalen Extrema angenommen werden, sind zu bestimmen.
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Nun denn: Ich habe bereits gezeigt, dass $B$ abgeschlossen und beschränkt, damit in $\IR^2$ kompakt ist und die erste Teilaussage bewiesen.
Wie lassen sich aber nun die globalen Extremalwerte und alle Extremalstellen aus $B$ bestimmen?
Würde man schauen, was für $x^2+y^2 = 1$ und $x^2+y^2 = 0$ passiert? Wären das alle Fälle?
Wie immer bin ich euch für jede Hilfe sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2829
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-20
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Hallo
Ich würde das so machen. Berechne erstmal die Extrempunkte über die Anleitungen undprpüfe ob diese Extrempunkte auf B liegen.
Gruß Caban
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4428
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-20
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\quoteon(2021-05-20 21:38 - X3nion im Themenstart)
Würde man schauen, was für $x^2+y^2 = 1$ und $x^2+y^2 = 0$ passiert? Wären das alle Fälle?
\quoteoff
Die beiden Fälle sind:
1. Extrema im Inneren ($x^2+y^2<1$)
2. Extrema auf dem Rand ($x^2+y^2=1$)
Für den 1. Fall schaust du dir einfach die Punkte an, in denen die Ableitung von $f$ verschwindet.
Im 2. Fall hast du es mit Extrema unter einer Nebenbedingung zu tun. Also verwendest du entweder eine Parametrisierung des Einheitskreises oder greifst zu Lagrange-Multiplikatoren.
--zippy
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X3nion
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1051
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-20
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Hey Caban und Danke dir für deine Antwort!
Ich bekomme $f'(x,y) = \begin{pmatrix} 3x^2+3y^2+2x & 6xy+2x \end{pmatrix}$
sowie $f''(x,y) = \begin{pmatrix} 6x + 2 & 6y \\ 6y & 6x+2 \end{pmatrix}$.
Es ist $f'(x,y) = 0$ genau dann wenn
$y = 0 \wedge \left(x=0 \vee x = -\frac{2}{3}\right)$ oder
$x = -\frac{1}{3} \wedge \left(y = \frac{1}{3} \vee y = -\frac{1}{3}\right)$.
Weiter erhalte ich $f''(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, diese Matrix ist positiv definit und damit haben wir einen lokalen Tiefpunkt
$f''\left(-\frac{2}{3},0\right) = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$ und folglich einen Hochpunkt.
Für die anderen Punkte $\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ sowie $\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)$ erhalte ich jeweils Sattelpunkte.
Es gilt nun schon $z_1:=(0,0) \in B$ sowie $z_2:=\left(-\frac{2}{3},0\right) \in B$, aber woher weiß ich, dass dies auch globale Minima sind?
Viele Grüße,
X3nion
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4428
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-20
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\quoteon(2021-05-20 22:32 - X3nion in Beitrag No. 3)
aber woher weiß ich, dass dies auch globale Minima sind?
\quoteoff
Spoiler: Sie sind es nicht.
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X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1051
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-20
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Hey zippy,
vielen Dank dir für deinen ergänzenden Beitrag!
\quoteon
Die beiden Fälle sind:
1. Extrema im Inneren ($x^2+y^2<1$)
2. Extrema auf dem Rand ($x^2+y^2=1$)
Für den 1. Fall schaust du dir einfach die Punkte an, in denen die Ableitung von $f$ verschwindet.
\quoteoff
Die habe ich ja aber oben schon berechnet oder, zumal die Stellen ja innerhalb des Einheitskreises liegen?
\quoteon
Im 2. Fall hast du es mit Extrema unter einer Nebenbedingung zu tun. Also verwendest du entweder eine Parametrisierung des Einheitskreises oder greifst zu Lagrange-Multiplikatoren.
\quoteoff
Ja stimmt, hier kann man das Verfahren mit den Lagrange-Multiplikatoren heranziehen - guter Tipp!
Das Verfahren liefert ja aber nur Extremalstellen, wie bekomme ich dann heraus, ob es Minimal- oder Maximalpunkte sind? In die zweite Ableitung von $f$ kann ich diese Punkte ja nicht einsetzen.
Und wie meinst du das Verfahren der Parametrisierung? Könntest du das vielleicht noch etwas näher erläutern?
Viele Grüße,
X3nion
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4428
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-20
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\quoteon(2021-05-20 23:10 - X3nion in Beitrag No. 5)
Das Verfahren liefert ja aber nur Extremalstellen, wie bekomme ich dann heraus, ob es Minimal- oder Maximalpunkte sind?
\quoteoff
Du vergleichst einfach die Funktionswerte aller in Frage kommenden Stellen (aus dem 1. und dem 2. Fall). Der kleinste ist das globale Minimum, der größte das globale Maximum.
(Um das lokale Verhalten muss man sich nicht kümmern, da es hier nur um globale Extrema geht. Es gäbe aber auch für Lagrange-Multiplikatoren ein Kriterium, das mit der zweiten Ableitung arbeitet; siehe z.B. hier.)
\quoteon(2021-05-20 23:10 - X3nion in Beitrag No. 5)
Und wie meinst du das Verfahren der Parametrisierung?
\quoteoff
Die Punkte auf dem Rand von $B$ lassen sich als $(\cos\varphi,\sin\varphi)$ darstellen. Wenn du diese Darstellung in $f$ einsetzt, hast du eine Funktion der einen Variablen $\varphi$ und keine Nebenbedingung mehr.
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X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1051
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-21
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Hallo zippy,
vielen Dank dir, mit der Polartransformation geht es sehr elegant!
Sonst hat man nur umständliche Gleichungssysteme mit Variablen höherer Ordnung zu lösen.
Und einen netten Nebeneffekt hat es zudem noch: so kann man gleichzeitig den Umgang mit trigonometrischen Funktionen wieder einüben, damit das nicht einrostet 😃
Viele Grüße,
X3nion
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X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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