| Autor |
 Ableitung mehrdimensionaler Funktion |
|
sophie_amfa
Junior 
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
 |  Themenstart: 2021-05-25
|
Hallo,
ich habe vor einiger Zeit mein Studium unterbrochen und möchte nun bald wieder anfangen und gehe daher momentan alte Aufgaben aus meinem bisherigen Studium durch. Dabei bin ich über eine Aufgabe gestolpert, zu der ich meine Aufzeichnungen nicht mehr finde. Leider ist das Ganze bei mir auch schon etwas her und ich weiß nicht wie ich da rangehen soll. Wenn mir jemand dabei helfen könnte, zu verstehen, wie ich vorgehen muss, wäre ich sehr dankbar.
Es seien A,B \el\ R^n,n. Zeigen sie, dass die Funktion
f:R^n,n->R^n,n, X->(X-A)^2+X+B
differenzierbar ist und bestimmen sie die Ableitung.
Vielen Dank schon mal
Grüße Sophie
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-25
|
Hallo und willkommen im Forum :)
In diesem Fall ist es sicherlich zunächst sinnvoll, dass du wiederholst oder nochmal überlegst, wie Differenzierbarkeit überhaupt definiert ist.
LG Nico
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
|
Hallo Nico,
zunächst danke für die schnelle Antwort.
In meinem Skript habe ich für die Differenzierbarkeit folgende Definition gefunden:
f ist differenzierbar, wenn der Grenzwert lim_(x_0->x) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) für alle x_0 im Definitionsbereich existiert.
Mein Hauptproblem bei der Aufgabe ist aber eher, dass ich die Funktion, so wie sie in der Aufgabe steht gar nicht richtig begreife. Mit dem \(R^{n,n}\) habe ich meine Probleme.
LG Sophie
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-25
|
Ich vermute das soll $\mathbb R^{n\times n}$ bedeuten? Das steht für den $\mathbb R$-Vektorraum der reellen $n\times n$-Matrizen.
Die Definition, die du angegeben hast, macht nur für Funktionen Sinn, die auf den reellen Zahlen definiert sind und in die reellen Zahlen abbilden (oder auch die komplexen Zahlen).
Für allgemeine Vektorräume macht die Definition keinen Sinn, da Division durch Vektoren dort nicht erklärt ist.
Man könnte es für endlich-dimensionale Vektorräume wie folgt erklären:
$\textbf{Definition.}$ Seien $V,W$ endlich-dimensionale normierte $\mathbb R$-Vektorräume, $U\subseteq V$ offen, $f\colon U\to W$ eine Funktion sowie $a\in U$. Man sagt, dass $f$ an der Stelle $a\in U$ differenzierbar ist, falls es eine lineare Abbildung $L\colon V\to W$ gibt, so dass
$$
\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{\lVert x-a \rVert}=0,
$$
gilt. In diesem Fall nennt man die lineare Abbildung $L$ das Differential (oder auch die (totale) Ableitung) von $f$ in $a$ und schreibt $L=Df(a)$.
Die Idee dahinter ist, dass sich eine differenzierbare Funktion in gewissem Sinne "gut" durch eine lineare Abbildung darstellen lässt. In Dimension 1 (also auf $\mathbb R$) drückt sich das dadurch aus, dass die Tangente an eine differenzierbare Funktion die beste lineare Approximation der Funktion ist. Im Allgemeinen drückt sich das wie folgt aus:
Eine äquivalente Formulierung obiger Definition ist, dass es ein $\delta>0$ und eine Funktion $\varphi\colon B_\delta(0)\to W$ gibt, so dass für alle $h\in B_\delta(0)$ gilt
$$
f(a+h)=f(a)+L(h)+\varphi(h)
$$
mit
$$
\lim_{h\to 0} \frac{\varphi(h)}{\lVert h\rVert}=0.
$$
Letzteres schreibt man oft auch suggestiv als $\varphi(h)=o(\lVert h\rVert)$ für $h\to 0$. In einer Umgebung des Punktes $a$ lässt sich $f$ also gut durch die affine Abbildung $x\mapsto f(a)+L(x-a)$ darstellen. Mit "gut" ist dabei gemeint, dass der Fehler $\varphi$ der Approximation schneller gegen $0$ konvergiert als $h$.
LG Nico
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
|
Ich stelle mich gerade echt blöd an, sorry dafür, aber ich verstehe einfach nicht, wie ich jetzt f aufschreibe bzw "nutze", da das ja Matritzen sind.
Ich müsste doch jetzt zeigen, dass es eine lineare Abbildung L gibt, sodass
lim(x->a,(f(x)-f(a)-L(x-a))/norm(x-a))=0 ist.
Aber mir erschließt sich dann nicht, wie ich das jetzt auf die in der Aufgabe gegebene Funktion f anwende, weil ich mir die Funktion mit den Matritzen einfach nicht "vorstellen" kann.
Wäre denn beispielsweise folgendes richtig?
f(x)=(x-a)^2+x+b , mit a\el\ A und b\el\B
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-25
|
Wenn du nicht mit Matrizen umgehen kannst / willst, dann kannst du auch eine Matrix mit den Einträgen $(a_{ij})$ in einen Spaltenvektor umschreiben, das läuft auf das gleiche hinaus.
Vorstellen kann ich mir diese Abbildung sicher auch nicht, da viel zu viele Dimensionen benötigt werden um sie zu visualisieren.
LG Nico
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
|
Ist denn folgender Ansatz, vielleicht zumindest nicht ganz falsch? ;)
lim(x->a,(f(x)-f(a)-L(x-a))/norm(x-a))=0
lim(x->a,((x-a_(ij))^2+x+b_(ij)-(a-a_(ij))^2-a-b_(ij)-L(x-a))/norm(x-a))=0
lim(x->a,((x-a_(ij))^2-(a-a_(ij))^2+x-a-L(x-a))/norm(x-a))=0
Jetzt könnte man vielleicht nutzen, dass für x->a x-a->0 geht und dann weiter vereinfachen, sodass dann entsteht:
lim(x->a,((x-a_(ij))^2-(a-a_(ij))^2-L(0))/norm(x-a))=0
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-25
|
Hallo,
Es gibt nur einen einzigen Kandidaten für das Differential einer Funktion, nämlich diejenige lineare Abbildung, die durch die Jacobi-Matrix gegeben ist.
Dazu müsstest du also zunächst die Funktion auf partielle Differenzierbarkeit untersuchen und dann mit der Jacobi-Matrix die Definition der Differenzierbarkeit nachprüfen. Das sollte hier aber nicht nötig sein, da man recht einfach zeigen kann, dass die Komponentenfunktionen von $f$ Polynome und damit differenzierbar sind.
LG Nico
|
Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-25
|
Deine Abbildung hat ja insgesamt $n^2$ Komponenten $f_1,\dots,f_{n^2}$. Versuche diese doch mal zu bestimmen, also schreibe deine Abbildung in der Form
$$
X=(x_{ij}) \mapsto (f_1(X),\dots,f_{n^2}(X)).
$$
LG Nico
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior 
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
|
Für die Berechnung der Jacobi-Matrix würde ich folgendes schließen:
f(x)=((x-a_(11))^2+x+b_(11);(x-a_(12))^2+x+b_(12);...)
Dann folgt:
J_f(x)=(2(x-a_(11))+1;2(x-a_(12))+1;...)=2(x-a_(ij))+1=2x-2a_(ij)+1
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-25
|
Achtung, da hast du einen kleinen Denkfehler. Deine Abbildung sieht so aus:
$$
X\mapsto (X-A)^2+X+B.
$$
Dabei ist $X-A$ eine Matrix, also bedeutet $(X-A)^2$, dass die Matrix $X-A$ mit sich selbst multipliziert wird. Wenn die Einträge von $X$ mit $x_{ij}$ und die von $A$ mit $a_{ij}$ bezeichnet seien, wie sind dann die Einträge von $(X-A)^2$?
LG Nico
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
|
Ah stimmt. Um zwei Matritzen zu subtrahieren subtrahiert man ja immer die Elemente, die an der selben Stelle stehen. Also \(x_{11}-a_{11}\). Dann denke ich müsste folgen:
f(X)=((x_(11)-a_(11))^2+x+b_(11);(x_(12)-a_(12))^2+x+b_(12);...)
Dann folgt:
J_f(X)=(2(x_(11)-a_(11))+1;2(x_(12)-a_(12))+1;...)=2(x_(ij)-a_(ij))+1=2x_(ij)-2a_(ij)+1
Sollte das jetzt so richtig sein, müsste ich also nun zeigen, dass der Grenzwert 0 wird, wenn die lineare Abbildung L gleich \(J_f(X)\) ist?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-25
|
Nein, so werden Matrizen nicht multipliziert. Die Einträge von $X-A$ sind $x_{ij}-a_{ij}$, das hast du soweit richtig. Jetzt wird aber die Matrix $X-A$ mit sich selbst multipliziert! Weißt du wie man Matrizen multipliziert?
LG Nico
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
|
Ah ja sorry, da hatte ich das falsch verstanden:
Sei C=(X-A)^2, dann müsste folgen:
c_(ij)=sum((x_ik-a_ik)*(x_kj-a_kj),k=1,n)
Dann müsste doch eigentlich folgen(?):
f(X)=(c_(11)+x_11+b_11;c_(12)+x_12+b_12;...)=c_ij+x_ij+b_ij=sum((x_ik-a_ik)*(x_kj-a_kj),k=1,n) +x_ij+b_ij
Wie ich jetzt aber die Jacobi-Matrix bestimme, ist mir nicht so ganz klar, weil wir ja mal x_kj, mal x_ik und mal x_ij haben?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.14, eingetragen 2021-05-25
|
Hallo,
so wie du es aufschreibst ergibt es nicht wirklich Sinn. Schreiben wir also mal alle Komponentenfunktionen von $f$ auf. Ich schreibe $f_{ij}$ für die Komponenten von $f$ (Jeder Eintrag der Matrix ist eine Komponente von $f$).
Dann haben wir
$$
f_{ij}(X)=c_{ij}+x_{ij}+b_{ij}.
$$
Da $c_{ij}$ einfach ein Polynom ist, ist $f_{ij}$ differenzierbar und damit insgesamt auch $f$ (Eine Funktion ist genau dann differenzierbar, wenn alle Komponenten differenzierbar sind). Die Jacobi-Matrix besteht aus den ganzen Partiellen Ableitungen von $f$. Die Variablen heißen nun eben $x_{ij}$.
Ich bin mir jetzt aber auch nicht sicher, was du genau angeben sollst, wenn nach der Ableitung gefragt ist. Die Jacobi-Matrix zu berechnen wäre hier schon etwas aufwändig.
LG Nico
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
|
Ok also,
Sei C:=(X-A)^2 .Wir betrachten die Komponentenfunktionen von f. Dann folgt für f_ij :
f_ij=c_ij+x_ij+b_ij
Da also c_ij immer ein Polynom ist, ist f_ij differenzierbar und da somit alle Komponentenfunktionen von f differenzierbar sind, ist f selbst differenzierbar.
Betrachten wir nun die Jacobi-Matrix, folgt:
J_f_ij(x_ij)=1
Das würde bedeuten, dass die Ableitung für alle Komponentenfunktionen von f gleich 1 ist.
Stimmt das so mit der Jacobi-Matrix?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.16, eingetragen 2021-05-25
|
Wieso sind alle partiellen Ableitungen konstant 1?
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25
|
Naja ich dachte mir das folgendermaßen:
f'_ij(x_ij)=c_ij+x_ij+b_ij=1 , da c_ij und b_ij konstanten sind, die nicht von x_ij abhängen.
Wobei ich merke gerade, vielleich hängt c_ij doch von x_ij ab, da
c_ij=sum((x_ik-a_ik)*(x_kj-a_kj),k=1,n)
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26
|
Ich hab jetzt noch länger drüber nachgedacht und hab vielleicht nen besseren Ansatz:
f'_ij(x_ij)=(c_ij)'+(x_ij)'+(b_ij)'=(c_ij)'+1=(sum((x_ik-a_ik)*(x_kj-a_kj),k=1,n))'+1
Da für alle k!=i,j kein x_ij entsteht, entfallen diese alle als Konstante.
Für k=j folgt:
(x_ij-b_ij)*(x_jj-b_jj)=x_ij x_jj-x_ij b_jj-b_ij x_jj+b_ij b_jj
Leitet man dies nach x_ij ab, folgt: x_jj-b_jj
Für k=i folgt:
(x_ii-b_ii)*(x_ij-b_ij)=x_ij x_ii-x_ij b_ii-b_ij x_ii+b_ij b_ii
Leitet man dies nach x_ij ab, folgt: x_ii-b_ii
Damit folgt:
f'_ij(x_ij)=(c_ij)'+(x_ij)'+(b_ij)'=(c_ij)'+1=(sum((x_ik-a_ik)*(x_kj-a_kj),k=1,n))'+1=x_jj-b_jj+x_ii-b_ii+1
Jetzt muss ich nur noch wieder von der Komponente f_ij zur Funktion f. Falls das denn so richtig ist
|
Profil
|
Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.19, eingetragen 2021-05-26
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}
\newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo ihr beiden,
ihr macht euch das Leben unnötig schwer, indem ihr unbedingt in Komponenten rechnen wollt. Tut das nicht, das ist nämlich erstens umständlich und zweitens nicht erhellend.
nzimme10 hat doch schon ganz am Anfang des Threads erwähnt, dass eine Funktion $f:V\to W$ zwischen zwei normierten Räumen $V$ und $W$ differenzierbar im Punkt $x\in V$ ist, falls es eine lineare Abbildung $L_{x}:V\to W$ gibt, sodass $f(x+h)=f(x)+L_x(h)+\varphi(h)$, wobei $\varphi(h)$ eine "schnell verschwindende" Funktion ist. Man kann die hier betrachtete Funktion mit einfachen (einzige Sache auf die man achten muss: das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt nicht!) algebraischen Umformungen in diese Form bringen:
\[\begin{align*}f(X+H)&=(X+H-A)^2+X+H+B\\
&=(X-A+H)^2 + X+H+B\\
&=(X-A)^2 +(X-A)H+H(X-A)+H^2~~+~~X+H+B\\
&=\underbrace{(X-A)^2+X+B}_{f(X)}+\underbrace{(X-A)H+H(X-A)+H}_{L_X(H)}+\underbrace{H^2}_{\varphi(H)}
\end{align*}\]
Nachzuweisen ist dann nur noch, dass die Abbildung $L_X:V\to W,~H\mapsto (X-A)H+H(X-A)+H$ linear ist, und dass die Funktion $\varphi:V\to W,~H\mapsto H^2$ eine $o(\Vert H\Vert)$-Funktion ist, wie nzimme10 es so schon verkürzt formuliert.
Ihr müsst dann auch keine Jacobimatrix oder so berechnen (die dann ja sogar $(n^2)^2=n^4$ Einträge haben müsste!), um die lineare Abbildung zu bestimmen. Ihr könnt einfach direkt die Abbildungsvorschrift angeben, so wie ich es oben getan habe.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26
|
Hey Vercassivelaunos,
danke für deinen Weg. Zur Bestimmung der Ableitung kommt er mir tatsächlich deutlich einfacher vor.
Mein einziges Problem, was ich dann noch habe, ist zu zeigen, dass \(H^2\) tatsächlich \(\phi(h)\) ist.
Es müsste doch gelten:
lim(H->0,\phi2(X+H)/norm(H))=0
Und da \phi2: H->H^2 abbildet, müsste folgen:
lim(H->0,\phi2(X+H)/norm(H))=lim(H->0,(X+H)^2/norm(H))=0
Wie wird das jetzt 0?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.21, eingetragen 2021-05-26
|
Hallo,
Vercassivelaunos du hast natürlich Recht. Das ist der deutlich elegantere Weg.
sophie_amfa, zu zeigen ist
$$
\lim_{H\to 0} \frac{H^2}{\lVert H \rVert}=0.
$$
LG Nico
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26
|
Hi Nico,
danke. Dass müsste doch eigentlich direkt folgen für \(H\rightarrow 0\), da das Quadrat schneller fällt oder irre ich mich?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.23, eingetragen 2021-05-26
|
Beachte wieder, dass $H$ eine Matrix ist..
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26
|
Stimmt, dass vergesse ich immer.
Aber wenn ich die Nullmatrix mit sich selbst multipliziere, entsteht doch wieder die Nullmatrix.
Also \(\lim \limits_{H \to 0}H^2=0\) gilt damit ja auf jeden Fall.
Muss ich jetzt noch untersuchen, ob \(H^2\) schneller fällt, als \(||H||\)?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.25, eingetragen 2021-05-26
|
Du kannst auch einfach im Zähler auch die Norm schreiben. Es gilt ja
$$
\lim_{H\to 0} \frac{H^2}{\lVert H \rVert}=0 \ \Longleftrightarrow \ \lim_{H\to 0} \frac{\lVert H^2 \rVert}{\lVert H \rVert}=0.
$$
Dann kann man die Submultiplikativität der Operatornorm benutzen und erhält
$$
0\leq \frac{\lVert H^2 \rVert}{\lVert H \rVert} \leq \frac{\lVert H \rVert^2}{\lVert H \rVert}=\lVert H \rVert\overset{H\to 0}{\longrightarrow} 0.
$$
LG Nico
|
Profil
|
sophie_amfa
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 14
Wohnort: Mainz
| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26
|
Stimmt das macht Sinn.
Vielen Dank. Ohne euch wäre ich aufgeschmissen. Ich hab jetzt echt gemerkt, dass ich noch echt viel nachholen und wiederholen muss, damits dann im nächsten Semester hoffentlich für mich weiter gehen kann.
Viele Grüße
Sophie :)
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
2023-03-24 11:03 U ?
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
