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 Partielle Ableitung |
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troete97
Junior 
Dabei seit: 26.03.2021
Mitteilungen: 15
 |  Themenstart: 2021-05-31
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Moin,
ich verzweifle gerade daran, die partiellen Ableitungen von
$F(t,u(t)) = -A u(t) + g(t,u(t))$
nach $u$ und $t$ zu bilden und würde mich freuen, wenn mir jemand hilft.
$A$ ist dabei eine quadratische Matrix, $u$ und $g$ sind jeweils Vektoren.
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troete97
Junior 
Dabei seit: 26.03.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-31
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Ich bin nun soweit, dass ich folgendes heraus habe:
$\frac{\partial F}{\partial u} (t,u) = -A + \frac{\partial g}{\partial u}(t,u)$
$\frac{\partial F}{\partial t} (t,u) = \frac{\partial g}{\partial t}(t,u)$
Nun frage ich mich allerdings, wie $\frac{\partial g}{\partial u}(t,u)$ und $\frac{\partial g}{\partial t}(t,u)$ genau aussehen. Ersteres muss wohl eine Matrix sein, letzteres ein Vektor.
Wie wäre das z.B für $g(t,u) = 2e^t \cdot \mathbb{1} + u(t)$? wobei die 1 ein Vektor gefüllt mit 1 sein soll.
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troete97
Junior
Dabei seit: 26.03.2021
Mitteilungen: 15
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-03
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Mag mir jemand weiterhelfen? 🤒
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ich glaube, das Problem ist hier, dass das ganze ziemlich unklar ist. Du schreibst:
\quoteon(2021-05-31 11:35 - troete97 im Themenstart)
ich verzweifle gerade daran, die partiellen Ableitungen von
$F(t,u(t)) = -A u(t) + g(t,u(t))$
nach $u$ und $t$ zu bilden und würde mich freuen, wenn mir jemand hilft.
$A$ ist dabei eine quadratische Matrix, $u$ und $g$ sind jeweils Vektoren.
\quoteoff
Wie soll ein Vektor Komponente bzw. Argument eines anderen Vektors sein?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-03
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\quoteon(2021-06-03 18:45 - Diophant in Beitrag No. 3)
Wie soll ein Vektor Komponente bzw. Argument eines anderen Vektors sein?
\quoteoff
Ich denke das ist so gemeint, dass $g$ eine vektorwertige Funktion ist, die von $u$ abhängt?
LG Nico
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troete97
Junior
Dabei seit: 26.03.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-03
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Richtig Nico. Also g sieht in meinem Beispiel jetzt wie folgt aus
$ g(t,u) = \begin{pmatrix} 2e^t + u(t,x_1) \\ \vdots \\ 2e^t + u(t,x_n) \end{pmatrix}$
Jetzt frage ich mich wie $\frac{\partial g}{\partial u}(t,u)$ und $\frac{\partial g}{\partial t}(t,u)$ aussehen
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StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4211
Wohnort: Raun
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-05
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Hallo troete97,
\(e^t\) und \(u\) kann man nicht addieren, das Beispiel in Beitrag No.1 war besser geeignet. Die gesuchte Matrix ist dann die Jakobi-Matrix.
Viele Grüße,
Stefan
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-03 19:47 - troete97 in Beitrag No. 5)
Richtig Nico. Also g sieht in meinem Beispiel jetzt wie folgt aus
$ g(t,u) = \begin{pmatrix} 2e^t + u(t,x_1) \\ \vdots \\ 2e^t + u(t,x_n) \end{pmatrix}$
Jetzt frage ich mich wie $\frac{\partial g}{\partial u}(t,u)$ und $\frac{\partial g}{\partial t}(t,u)$ aussehen
\quoteoff
Wenn du das so meinst wie in No. 1, dann wäre wohl
$$
g(t,u) = \begin{pmatrix} 2e^t + u_1(t) \\ \vdots \\ 2e^t + u_n(t) \end{pmatrix}
$$
eine übliche Notation.
LG Nico
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troete97
Junior
Dabei seit: 26.03.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-06
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Ja genau 🙂
Aber was wären denn nun die partiellen Ableitungen davon?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
was mir hier nach wie vor nicht klar wird ist: wie kommst du hier überhaupt auf die Idee, partiell ableiten zu wollen? Der Vektor \(u\) ist doch selbst wieder von \(t\) abhängig, also ist \(F\) doch offensichtlich eine Funktion \(F:\ \IR\to\IR^n\). Oder verstehe ich hier etwas falsch?
Du könntest sicherlich zielführendere Antworten erhalten, wenn du uns einmal den Kontext schilderst, in dem das Problem auftritt.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-06
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\quoteon(2021-06-06 11:12 - Diophant in Beitrag No. 9)
Hallo,
was mir hier nach wie vor nicht klar wird ist: wie kommst du hier überhaupt auf die Idee, partiell ableiten zu wollen? Der Vektor \(u\) ist doch selbst wieder von \(t\) abhängig, also ist \(F\) doch offensichtlich eine Funktion \(F:\ \IR\to\IR^n\). Oder verstehe ich hier etwas falsch?
Du könntest sicherlich zielführendere Antworten erhalten, wenn du uns einmal den Kontext schilderst, in dem das Problem auftritt.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Das verwirrt mich auch. Demnach sollte, wenn mich nicht alles täuscht, einfach
$$
\frac{\partial g_i}{\partial t}(t)=\frac{\mathrm dg_i}{\mathrm dt}(t)=2\mathrm e^t+\frac{\mathrm du_i}{\mathrm dt}(t)
$$
gelten.
LG Nico
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StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
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Wohnort: Raun
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-06
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Die Abbildung \(\IR\to\IR^n, t \mapsto F(t,u(t)) \) ist eine Funktion von \(t\), aber diese Funktion ist nicht die Funktion \(F\), auch wenn diese oft so bezeichnet wird, siehe hier und hier. Solange man damit weiterkommt, ist alles gut, und wenn nicht, kann man auch eine andere Bezeichnung versuchen und wenn man das Ergebnis hat und von diesem Ergebnis auch überzeugt ist, wieder zurückbenennen. Genauso ist \(g(t,u(t))\) eine Funktion von \(t\), aber diese Funktion ist nicht die Funktion \(g\):
\(h(t) = g(t,u(t)) = \) \(\begin{pmatrix} 2e^t + u_1(t) \\ \vdots \\ 2e^t + u_n(t) \end{pmatrix}\) mit \(g(t,u) =\) \(\begin{pmatrix} 2e^t + u_1 \\ \vdots \\ 2e^t + u_n \end{pmatrix}\)
Die partiellen Ableitungen von \(g\) werden dann zum Beispiel bei der mehrdimensionalen Kettenregel benötigt,
\(\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = \frac{\partial g}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial t} + \frac{\partial g}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t}\),
und darin erhalte ich im Einzelnen
\(\frac{\partial g} {\partial t} =\) \( \begin{pmatrix} 2e^t \\ \vdots \\ 2e^t \end{pmatrix}\),
\(\frac{\partial t}{\partial t} = 1\),
\(\frac{\partial g}{\partial u} = I\) (die Einheitsmatrix mit 1 auf der Hauptdiagonale und sonst 0),
\(\frac{\partial u}{\partial t} =\) \(\begin{pmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial t} \\ \vdots \\ \frac{\partial u_n}{\partial t} \end{pmatrix}\),
insgesamt
\(\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} =\) \(\begin{pmatrix} 2e^t + \frac{\partial u_1}{\partial t} \\ \vdots \\ 2e^t + \frac{\partial u_n}{\partial t} \end{pmatrix}\).
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