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Mathematik » Stochastik und Statistik » Standardnormalverteilung abschätzen
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Universität/Hochschule J Standardnormalverteilung abschätzen
MalibuRazz
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  Themenstart: 2021-06-03

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei $X$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Zeige: $P(X\geq \epsilon) \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\epsilon} e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}$ Als Hinweis ist gegeben, dass wir die Wahrscheinlichkeit als Integral über die Dichte $f(x)$ schreiben sollen und das Integral nach oben abschätzen, indem wir die Dichte mit $\frac{x}{\epsilon}$ multiplizieren. Ansatz: Es gilt ja wegen Standardnormalverteilung $P(X\leq \epsilon) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\epsilon}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$, also $P(X\geq \epsilon) = 1-P(X\leq \epsilon) = 1- \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\epsilon}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$. Nun weiß ich nicht weiter und der Hinweis hilft mir nicht wirklich... danke!


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-03

Moin, vermutlich ist $\epsilon>0$ ... vg Luis


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MalibuRazz
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Mitteilungen: 108
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-03

Hallo Luis, \quoteon vermutlich ist $\epsilon>0$ ... \quoteoff Ja genau, hab ich vergessen vorauszusetzen! Es gilt $\epsilon > 0$


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sonnenschein96
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Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 507
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-03

Hallo MalibuRazz, es gilt doch \[1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\varepsilon e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\varepsilon^\infty e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\varepsilon^\infty\frac{t}{\varepsilon} e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt.\] Das letzte Integral kannst Du einfach ausrechnen.


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MalibuRazz
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Mitteilungen: 108
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-03

\quoteon(2021-06-03 15:48 - sonnenschein96 in Beitrag No. 3) es gilt doch \[1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\varepsilon e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\varepsilon^\infty e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\varepsilon^\infty\frac{t}{\varepsilon} e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt.\] Das letzte Integral kannst Du einfach ausrechnen. \quoteoff Vielen Dank! Durch Integration durch Substitution komme ich genau auf den zu zeigenden Term


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