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Analysis » Funktionalanalysis » Schwache Konvergenz in ℓ¹
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Universität/Hochschule Schwache Konvergenz in ℓ¹
Lupi98
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  Themenstart: 2021-06-05

Liebe Mathe-Freunde, ich beiße mir gerade an einer Aufgabe die Zähne aus, vielleicht kann mir da ja jemand einen Hinweis geben :) Ich entschuldige mich schonmal im Voraus: Ich kriege es blöder Weise nicht hin, ein Bild hochzuladen und mit LATEX habe ich bisher auch noch nicht gearbeitet :/ Aber ich gebe mein Bestes, es trotzdem verständlich darzustellen! Es geht um die schwache Konvergenz in l1 (also im Raum der Folgen, in dem die unendliche Summe der Beträge der Folgenglieder konvergiert). Wir sollen nun zeigen, dass für Folgen x^n (also x eine Folge in l1 und n aus den natürlichen Zahlen und damit eine Folge von Folgen) gilt: (lim n->undendlich (phi(x^n)=phi(x)) für alle phi aus l1 dual)<-> (lim n->undendlich x^n=x) Der linke Teil bedeutet ja dann gerade, dass x^n schwach konvergent gegen x ist. Zunächst einmal weiß ich, dass l1 ein Banachraum ist, also ist auch x in l1. Die Richtung "<-" ist klar, denn phi(x)=phi(lim x^n) (per Voraussetzung) = lim phi (x^n) (da phi aus l1 dual und damit insbesondere stetig) Kniffliger ist es nun bei der anderen Richtung. Unser Prof hat uns ein paar Hinweise gegeben, wie man das am besten angeht, aber ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich alles genau verstehe. Zunächst soll es ausreichend sein, den Fall x=0 zu betrachten (ich denk mal, es ist klar, warum das ausreicht). Wir wollen zeigen, dass wenn lim n->undendlich x^n (also hoch n) ungeleich 0 ist, dann auch lim n->undendlich (phi(x^n) ungleich 0, was ja der Voraussetzung widersprechen würde (da phi(0)=0 weil phi stetig und linear). Wir nehmen also an, dass x^n bezüglich der l1-Norm nicht gegen 0 konvergiert. Nun können wir laut Hinweis o.B.d.A. annehmen, dass Norm(x^n) größer gleich 1 ist für alle n(durch Übergang zu einer Teilfolge und Umskalieren, das sollte auch klar sein, warum das geht) Jetzt kommt der Teil wo ich etwas ratlos bin: Mein Prof behauptet, es gibt dann eine Teilfolge x^nj s.d. für alle j=1,2,... gilt: Summe k=1 bis K(j-1)) |xk^nj| < 1/5 und Summe(k=Kj+1 bis unendlich) |xk ^nj| < 1/5 wobei K1 kleiner gleich K2 kleiner gleich K3 etc. Das verstehe ich irgendwie nicht ganz. Wie kann das sein, wo wir doch eben angenommen haben, dass Norm(x^n) größer gleich 1 ist für alle n? Zuletzt behauptet er, dass es dann ein phi aus l1 dual gibt, s.d. |phi(x^nj)| größer gleich 1/5. Da würde ich denken, dass man phi einfach als die l1-Norm wählt, denn dann ist Norm(x^nj) größer gleich 1 und das ist natürlich größer als 1/5. Obwohl mir an der Stelle natürlich wieder der Teil alles kaputt macht, den ich eben nicht verstanden habe... Angenommen aber mal, dieses phi gibt es. Dann ist es klar, dass wir nun fertig sind. Weil dann ist ja insbesondere lim nj->unendlich phi(x^nj) ungleich 0 und da x^nj eine Teilfolge von x^n, ist auch lim n->unendlich phi(x^n) ungleich 0, was ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung ist. Puh. Also wenn mir jemand erklären könnte, wie diese Teilfolge funktioniert und warum es dann solch ein passendes phi gibt, wäre ich sehr dankbar. Ich glaube, ich habe irgendetwas zentral falsch verstanden.... Liebe Grüße und einen schönen Samstag, Lucie


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-05

Hier nochmal in lesbar: \quoteon(2021-06-05 14:39 - Lupi98 im Themenstart) Es geht um die schwache Konvergenz in $\ell^1$ (also im Raum der Folgen, in dem die unendliche Summe der Beträge der Folgenglieder konvergiert). Wir sollen nun zeigen, dass für Folgen $(x^n)$ gilt: $$ \lim_{n\to \infty} \phi(x_n)=\phi(x), \ \forall \phi\in (\ell^1)^* \ \Longleftrightarrow \lim_{n\to \infty} x_n=x. $$ Der linke Teil bedeutet ja dann gerade, dass $(x^n)$ schwach konvergent gegen $x$ ist. Zunächst einmal weiß ich, dass $\ell^1$ ein Banachraum ist, also ist auch $x\in\ell^1$. Die Richtung "<-" ist klar, denn $\phi(x)=\phi(\lim x^n)$ = $\lim \phi (x^n)$ (da $\phi$ aus $(\ell^1)^*$ und damit insbesondere stetig) Kniffliger ist es nun bei der anderen Richtung. Unser Prof hat uns ein paar Hinweise gegeben, wie man das am besten angeht, aber ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich alles genau verstehe. Zunächst soll es ausreichend sein, den Fall $x=0$ zu betrachten (ich denk mal, es ist klar, warum das ausreicht). Wir wollen zeigen, dass wenn $\lim_{n\to \infty} x^n$ ungleich $0$ ist, dann auch $\lim_{n\to\infty} \phi(x^n)$ ungleich $0$, was ja der Voraussetzung widersprechen würde (da $\phi(0)=0$ weil $\phi$ stetig und linear). Wir nehmen also an, dass $x^n$ bezüglich der $\ell^1$-Norm nicht gegen $0$ konvergiert. Nun können wir laut Hinweis o.B.d.A. annehmen, dass $\lVert(x^n)\rVert\geq 1$ ist für alle $n$ (durch Übergang zu einer Teilfolge und Umskalieren, das sollte auch klar sein, warum das geht) Jetzt kommt der Teil wo ich etwas ratlos bin: Mein Prof behauptet, es gibt dann eine Teilfolge $(x^{n_j})$ s.d. für alle $j=1,2,\dotso$ gilt: $$ \sum_{k=1}^{K_{j-1}} |x_k^{n_j}| < \frac 15, \quad \sum_{k=K_{j+1}}^\infty |x_k^{n_j}| < \frac 15 $$ wobei $K_1\leq K_2\leq K_3\leq \dotso$. Das verstehe ich irgendwie nicht ganz. Wie kann das sein, wo wir doch eben angenommen haben, dass $\lVert (x^n)\rVert \geq 1$ ist für alle $n$? Zuletzt behauptet er, dass es dann ein $\phi\in (\ell^1)^*$ gibt, s.d. $|\phi(x^{n_j})| \geq 1/5$. Da würde ich denken, dass man $\phi$ einfach als die $\ell^1$-Norm wählt, denn dann ist $\lVert (x^{n_j})\rVert \geq 1$ und das ist natürlich größer als $1/5$. Obwohl mir an der Stelle natürlich wieder der Teil alles kaputt macht, den ich eben nicht verstanden habe... Angenommen aber mal, dieses $\phi$ gibt es. Dann ist es klar, dass wir nun fertig sind. Weil dann ist ja insbesondere $\lim_{n_j\to \infty} \phi(x^{n_j})\neq 0$ und da $(x^{n_j})$ eine Teilfolge von $(x^n)$, ist auch $\lim_{n\to \infty} \phi(x^n)\neq 0$, was ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung ist. Puh. Also wenn mir jemand erklären könnte, wie diese Teilfolge funktioniert und warum es dann solch ein passendes $\phi$ gibt, wäre ich sehr dankbar. Ich glaube, ich habe irgendetwas zentral falsch verstanden.... Liebe Grüße und einen schönen Samstag, Lucie \quoteoff Mit $\LaTeX$ solltest du dich unbedingt beschäftigen. So schwer ist es auch nicht das so zu lernen, dass zu zumindest deine Fragen vernünftig stellen kannst😁 Den Satz den du Beweisen willst ist auch unter Satz von Schur bekannt. Genauer ist die Aussage, dass $\ell^1$ die Schur-Eigenschaft hat, schwache Konvergenz also das selbe wie Konvergenz in der $\ell^1$-Norm ist. LG Nico


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Wally
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Zusatz: \( \phi\) ist natürlich nicht die Norm - es muss doch ein Funktional sein. Denk daran, dass stetige Funktionale auf \( l^1\) durch beschränkte Folgen dargestellt werden. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Lupi98
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-06

Ja, ich werde mich auf jeden Fall mal mit LATEX auseinander setzen, so kann es nicht weitergehen!😖 Ich bin immer noch am Knobeln und kriege es nicht hin, wollte es gerne auf dem Weg lösen, den mein Professor angegeben hat :/ Und ja, ϕ ist nicht die Norm, aber die Norm auf l1 ist ja ebenfalls stetig und linear. War wahrscheinlich Quatsch, aber ich dachte, man kann damit was anfangen... 🙄 Und dazu, dass stetige Funktionale auf l1 durch beschränkte Folgen dargestellt werden: Meinst du hier die allgemeine Beschränkheitseigenschaft, die ja äquivalent ist zu Stetigkeit, oder wiekann ich das verstehen? Liebe Grüße und danke für eure Mühen, Lucie🤗


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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-06

Seit wann ist die Norm linear? Es gilt $$ \lVert x+y \rVert \leq \lVert x\rVert +\lVert y\rVert, $$ aber in den seltensten Fällen ist hier Gleichheit erfüllt. Auch die Homogenität ist (im reellen Fall) nur für nichtnegative Skalare gegeben (im komplexen Fall nur für die nichtnegativen reellen Skalare). Wie bereits gesagt wurde gilt $(\ell^1)^*\cong\ell^\infty$. LG Nico


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Lupi98
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-06

Oh Gott! Ja natürlich, das macht ja gar keinen Sinn, wo ich gerade drüber nachdenke! Peinlich!


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-06

Ich habe bei einer schnellen Suche diesen Beitrag auf dem Stack Exchange gefunden. Dort wird versucht die Intuition hinter der Beweisidee genauer zu erläutern. Eventuell hilft dir das ja weiter. LG Nico


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Lupi98
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-06

Lieber Nico, vielen Dank, ich lese es mir jetzt durch, das wird mir bestimmt helfen:)


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