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| Autor |
  Ableitung an der Stelle x=0 |
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sussy
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 27
 |  Themenstart: 2021-06-05
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Hallo,
Ich knobel gerade an einer Aufgabe, diese lautet:
\(f(x)=x(1+2xsin(\frac{1}{x}))\) für \(x>0\) und \(f(x)=0\) für \(x=0\).
Nun soll ich davon die Ableitung an der Stelle \(x=0\) bilden.
Ich bin zunächst mit der Definition des Differentialquotienten vorgegangen:
\(\frac{d}{dx}f(0)=\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim \limits_{h \to 0}\frac{h(1+2hsin(\frac{1}{h}))}{h}=\lim \limits_{h \to 0}1+2hsin(\frac{1}{h}))\)
Dieser ist jedoch nicht existent. Also wäre es an dieser Stelle nicht differenzierbar. Laut unserem Professor ist die Aufgabe aber etwas schwerer, deshalb kommt mir diese Lösung zu einfach vor.
Übersehe ich ein Detail und komme deshalb auf diese schlichte Lösung?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß,
sussy
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3690
|  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-05
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Hallo,
deine Rechnung ist richtig. Aber die Behauptung, dass der Grenzwert nicht existiert, ist falsch.
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sussy
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-06
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Vorab danke für die Antwort! Du hast Recht.
\(\lim \limits_{h \to 0}1+2hsin(\frac{1}{h})=1+\lim \limits_{h \to 0}2hsin(\frac{1}{h})=1\), denn \(2h\) geht gegen null und \(sin(\frac{1}{h})\) ist beschränkt. Doof, dass mir das nicht aufgefallen ist🙃
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-06
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Hallo,
man sollte auch beachten, dass man hier nicht im eigentlichen Sinn von Ableitung an der Stelle $0$ sprechen kann, da die Funktion $f$ für $x<0$ ja nicht definiert ist. Man würde dann strenggenommen nur von rechtsseitiger Differenzierbarkeit sprechen können.
Streng genommen ist also auch der Ausdruck
$$
\lim_{h\to 0} \frac{f(h)}{h}
$$
gar nicht definiert und man müsste bzw. könnte nur
$$
\lim_{\substack{h\to 0 \\ h>0}} \frac{f(h)}{h}
$$
betrachten.
Weiter würde ich dir empfehlen unbedingt Klammern zu setzen.
$$
\lim_{h\to 0} 1+ 2h\sin\left(\frac 1h\right)
$$
meint eigentlich etwas anderes als (bzw. könnte missverstanden werden)
$$
\lim_{h\to 0} \left(1+ 2h\sin\left(\frac 1h\right)\right).
$$
LG Nico
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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sussy
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-06
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Alles klar Nico, das mit der Klammersetzung werde ich mir merken! Du hast selbstverständlich auch Recht, dass man hier nur von einem rechtsseitigem Grenzwert sprechen kann. Ich werde in Zukunft mehr auf Genauigkeit achten :)
Gruß,
sussy
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sussy hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sussy hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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