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Mathematik » Zahlentheorie » Beweis für Quadratzahlkriterium PFZ
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Universität/Hochschule Beweis für Quadratzahlkriterium PFZ
MathePaul
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  Themenstart: 2021-06-06

Hey zusammen, ich frage mich ob man an dem Beweis etwas verbessern könnte oder ob der überhaupt in Ordnung ist: \ Beweisen Sie das folgende Quadratzahlkriterium: a\el\ \IN \\{1} ist eine Quadratzahl <=> alle Exponenten der Primfaktorzerlegung von a sind gerade \ "Rückrichtung": Sei a\el\ \IN \\{1} mit der kanonischen PFZ von a = produkt(p_i^2k_i,i=1,n) = p_1^2k_1 * p_2^2k_2 * p_3^2k_3 *$...$*p_n^2k_n mit p_n\el\ \IP und k_n \el\ \IN_0 so sind alle Exponenten der PFZ von a gerade. Betrachte man sqrt(a), dann folgt: sqrt(a) = sqrt(produkt(p_i^2k_i,i=1,n)) $$$$$ = sqrt(p_1^2k_1 * p_2^2k_2 * p_3^2k_3 *$...$*p_n^2k_n) $$$$$ = sqrt(p_1^2k_1)*sqrt(p_2^2k_2)*sqrt(p_3^2k_3)*$...$*sqrt(p_n^2k_n) $$$$$ = p_1^k_1*p_2^k_2*p_3^k_3*$...$*p_n^k_n $$$$$ = produkt(p_i^k_i,i=1,n) => a ist eine Quadratzahl, da sqrt(a) = produkt(p_i^k_i,i=1,n) eine natürliche Zahl ist. \ "Hinrichtung": Sei a\el\ \IN \\ {1} eine Quadratzahl. => \exists\ b \el\ \IN \\ {1} mit a = b^2. Es gilt außerdem die kanonische PFZ von a = produkt(p_i^k_i,i=1,n) = p_1^k_1*p_2^k_2*p_3^k_3*$...$*p_n^k_n mit p_n \el\ \IP und k_n \el\ \IN_0 sowie b = produkt(q_i^l_i,i=1,n) = q_1^l_1*q_2^l_2*q_3^l_3*$...$*q_n^l_n mit q_n \el\ \IP und l_n \el\ \IN_0 => a = b^2 = (q_1^l_1*q_2^l_2*q_3^l_3*$...$*q_n^l_n)^2 $$$$$ = q_1^(2*l_1)*q_2^(2*l_2)*q_3^(2*l_3)*$...$*q_n^(2*l_n) $$$$$ = produkt(q_i^(2*l_i),i=1,n) => alle Exponenten von q_i sind gerade => durch die Eindeutigkeit der PFZ gilt jedoch produkt(q_i^(2*l_i),i=1,n) = produkt(p_i^k_i,i=1,n) => alle Exponenten der PFZ von a sind gerade. Vielen Dank Grüße Paul


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easymathematics
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-07

Im Grunde passt das schon. Ich persönlich würde ohne Wurzel arbeiten, also etwa: "<=" n = produkt p_i^(2e_i) = ( produkt p_i^e_i ) ^2 = a^2 und damit eine Quadratzahl.


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MathePaul
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-07

Vielen Dank, so wirds noch übersichtlicher und kürzer. Viele Grüße Paul


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easymathematics
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-12

Hallo, noch ein Hinweis, warum man es auf diese Art aufschreiben sollte. :) Wir wollen ja "Quadratzahl" nachweisen. Nach Definition ist eine Quadratzahl eine natürliche Zahl n, wenn es ein natürliches k gibt, mit k^2 = n. Mein Aufschrieb nutzt diese Definition aus. Bei Dir würde diese Definition erstmal nicht greifen, weil wir in der Zahlentheorie keine, ich sag mal, "klassischen" Wurzeln betrachten. Sprich: Die Definition "n ist eine Quadratzahl :<=> sqrt(n) ist natürlich" verwenden wir nicht. Also streng genommen wäre Dein Aufschrieb formal nicht ganz korrek. LG


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