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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Strukturelle Mengenlehre und Kategorientheorie Definition
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Universität/Hochschule Strukturelle Mengenlehre und Kategorientheorie Definition
Red_
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  Themenstart: 2021-06-07

Hallo, ich habe mittlerweile bisschen mehr zur strukturellen Mengenlehre gelesen. Eine Frage habe ich erstmal dazu: Gehen die strukturellen Mengenlehren davon aus, dass noch immer alle Objekte Mengen sind und man nur paar bestimmte Fragen nicht stellen darf (etwa: Seien $A$ und $B$ Mengen. Sind sie disjunkt? Oder $2\in \pi$)? Zweite Frage ist mir wichtiger: Der Begriff der Klasse wird so eingeführt, dass die Elemente von Klassen Mengen sein müssen. Aber die Definiton von einer Kategorie betrachtet Klasse und Objekte als Elemente. Etwa die Kategorie der Gruppen. Muss ich die Gruppen jetzt als Menge betrachten?


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happymodulistack
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-07

Nicht alle Objekte sind Mengen. Die meisten strukturellen Mengenlehren würden zum Beispiel $\pi$ als Element von $\IR$ ansehen und Element von $\IR$ ist etwas anderes als Menge. Die gängigen strukturellen Mengenlehren kennen den Begriff einer Klasse nicht.


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-07

\quoteonGehen die strukturellen Mengenlehren davon aus, dass noch immer alle Objekte Mengen sind \quoteoff Nein, und das ist ein ziemlich wichtiges Feature von strukturellen Mengenlehren. In ETCS gibt es zwei Basistypen: Menge, Abbildung. In SEAR gibt es drei Basistypen: Menge, Element, Relation. Bei HoTT gibt es noch viel mehr Typen. \quoteon(2021-06-07 20:40 - Red_ im Themenstart) Muss ich die Gruppen jetzt als Menge betrachten? \quoteoff Ja, wenn man mit Universen arbeitet, was sowieso besser ist, weil dafür alle üblichen Operationen funktionieren, für Klassen aber nicht. Das übliche Setup besteht aus zwei Grothendieck-Universen $U \in V$. (Manchmal braucht man auch drei.) Die Elemente von $U$ nennen wir $U$-klein (oder kurz: klein), die Elemente von $V$ nennen wir $V$-klein (oder auch: groß), aber es handelt sich immer noch um Mengen. Die Menge der $U$-kleinen Gruppen ist dann $V$-klein. Sie bilden auch eine $V$-kleine Kategorie. Alles, was du über (kleine) Mengen (und kleine Kategorien) weist, kannst du sowohl auf $U$-kleine als auch auf $V$-kleine Mengen (und Kategorien) anwenden. Es ist nur wichtig, immer zu wissen, in welchem Universum man sich gerade bewegt, falls mehrere im Spiel sind.


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Red_
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-08

Ahh ok, das ergibt schon mehr Sinn. In ZF definiert man eine Abbildung als den Graphen der Abbildung und somit wieder als Menge. Wie wird das in ECTS gemacht? Ist eine Abbildung immer noch eine Menge? In SEAR ist eine Abbildung von A nach B bestimmt nur eine spezielle Relation von $A\times B$, oder? Du sagst ich sollte dann Gruppen als Mengen betrachten, weil sie Element einer Klasse sind. Meinst du damit $G=(|G|,\circ, 1, i)$ soll ich wirklich als Menge betrachten, wie es in ZF gemacht wird? Wir haben: $|G|$ ist eine Menge; $\circ$ ist eine Abbildung, also eine Menge; 1 ist ein Element von $|G|$, also eine Menge; $i$ ist eine Abbildung, also eine Menge$. Ein Tupel wird auch als Menge angesehen. Soll ich das wirklich so machen, oder wie stellst du dir das vor? Welche Operationen funktionieren denn für übliche Universen, aber für Klassen nicht? (Was ein Universum ist, habe ich in dem anderen Thread gefragt). Du sagst ein Grothendieck-Universum ist eine Menge. Menge im Sinne von ZF (also von unten aufbauend konstruierbar mittels den Axiomen)? Auf Wikipedia steht Grothendieck hat das eingeführt, um zu vermeiden, dass er mit Klassen arbeitet. Kann ich mir das so vorstellen: ZFC hat zu kleine Mengen, die nicht handlich sind in der Mathematik. In TG stehen uns durch das Universenaxiom noch mehr Mengen zur Verfügung, die auch sehr praktisch sind in der Mathematik? Erneut vielen Dank für deine Geduld mit mir 😄


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-09

\quoteon(2021-06-08 10:29 - Red_ in Beitrag No. 3) In ZF definiert man eine Abbildung als den Graphen der Abbildung und somit wieder als Menge. Wie wird das in ECTS gemacht? Ist eine Abbildung immer noch eine Menge? \quoteoff Nein, und das habe ich schon beantwortet. Am besten, du liest eine Einführung in ETCS, weil damit solche Basisfragen beantwortet werden. (Ich ging davon aus, dass du das bereits vor dem Posten der Fragen erledigt hast.) https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS https://arxiv.org/abs/1212.6543 https://ncatlab.org/nlab/show/Sets+for+Mathematics \quoteonIn SEAR ist eine Abbildung von A nach B bestimmt nur eine spezielle Relation von $A\times B$, oder? \quoteoff Ja. Siehe Definition 2.1 in https://ncatlab.org/nlab/show/SEAR etwa. Über SEAR habe ich auch einen Artikel geschrieben: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1763 \quoteonDu sagst ich sollte dann Gruppen als Mengen betrachten, weil sie Element einer Klasse sind. \quoteoff Nein, das habe ich nicht gesagt. \quoteonMeinst du damit $G=(|G|,\circ, 1, i)$ soll ich wirklich als Menge betrachten, wie es in ZF gemacht wird? Wir haben: $|G|$ ist eine Menge; $\circ$ ist eine Abbildung, also eine Menge; 1 ist ein Element von $|G|$, also eine Menge; $i$ ist eine Abbildung, also eine Menge$. Ein Tupel wird auch als Menge angesehen. Soll ich das wirklich so machen, oder wie stellst du dir das vor? \quoteoff Ja, das ist jedenfalls das übliche Vorgehen in ZFC. Dort ist alles eine Menge. \quoteonWelche Operationen funktionieren denn für übliche Universen, aber für Klassen nicht? \quoteoff Universen sind einfach Mengen, also funktionieren alle üblichen Operationen (Potenzmenge, Hom-Mengen, usw.). Auch für ihre Elemente, die ebenfalls Mengen sind. Bei Klassen (mit NBG formalisiert) gibt es u.a. folgende Probleme (jedenfalls für die Kategorientheorie relativ problematisch): Für Klassen $X,Y$ bilden die Funktionen $X \to Y$ in der Regel keine Klasse. Und Klassen können keine Elemente von anderen Klassen sein. \quoteonDu sagst ein Grothendieck-Universum ist eine Menge. Menge im Sinne von ZF \quoteoff Normalerweise schon. Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe Grothendieck-Universen kann man aber auch in Topoi definieren, siehe Definition 2.1 in https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/NOTES/UniTop.pdf Und in der Typentheorie braucht man ebenfalls Universen, was dann keine Mengen sondern Typen sind. http://www2.math.uu.se/~palmgren/universe.pdf \quoteonalso von unten aufbauend konstruierbar mittels den Axiomen \quoteoff Das "also" ist unzutreffend, weil nicht jede Menge "konstruierbar mittels den Axiomen" ist. Die Existenz von Grothendieck-Universen ist ein Axiom, was man zu ZFC hinzugefügen muss, was also nicht direkt aus ZFC folgt (aber dieselbe Sprache besitzt, also die Sprache der Mengen). Aber es ist eine relativ "harmlose" Erweiterung. Oftmals wird auch viel weniger gebraucht, siehe dazu die Antwort von Joel David Hamkins unter https://mathoverflow.net/questions/24552/what-interesting-nontrivial-results-in-algebraic-geometry-require-the-existence/34036 \quoteonKann ich mir das so vorstellen: ZFC hat zu kleine Mengen \quoteoff Das würde ich so pauschal nicht sagen. Die Grothendieck-Universen sind immer noch Mengen in einem ZFC-Modell. Man könnte sagen, dass nicht jedes ZFC-Modell genügend große Mengen hat.


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Red_
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

Danke sehr für deine Mühe, ich werde mich alles durchlesen in den Ferien! Nur noch eine letzte Frage: \quoteon(2021-06-07 21:34 - Triceratops in Beitrag No. 2) \quoteon(2021-06-07 20:40 - Red_ im Themenstart) Muss ich die Gruppen jetzt als Menge betrachten? \quoteoff Ja, wenn man mit Universen arbeitet, was sowieso besser ist, weil dafür alle üblichen Operationen funktionieren, für Klassen aber nicht. \quoteoff Danach \quoteon(2021-06-09 03:47 - Triceratops in Beitrag No. 4) \quoteon Du sagst ich sollte dann Gruppen als Mengen betrachten, weil sie Element einer Klasse sind. \quoteoff Nein, das habe ich nicht gesagt. \quoteoff Also wie genau macht man das? In Kategorientheorie sind Objekte wie Gruppen, $K$-Vektorräume, Körper, etc. alle Elemente einer Klasse (Klasse der Objekte). Aber Elemente einer Klasse müssen Mengen sein. Ist eine Gruppe also eine Menge? Und $K$-Vektorräume auch?


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Triceratops
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-09

Man muss nicht mit Klassen arbeiten. Siehe der letzte Absatz in Beitrag 2.


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carlox
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-16

\quoteon(2021-06-07 20:40 - Red_ im Themenstart) Hallo, ich habe mittlerweile bisschen mehr zur strukturellen Mengenlehre gelesen. Eine Frage habe ich erstmal dazu: Gehen die strukturellen Mengenlehren davon aus, dass noch immer alle Objekte Mengen sind und man nur paar bestimmte Fragen nicht stellen darf (etwa: Seien $A$ und $B$ Mengen. Sind sie disjunkt? Oder $2\in \pi$)? \quoteoff Hallo Red_ Was ist strukturelle Mengenlehre? Wie unterscheidet sie sich von ZFC bzw. der naiven Mengenlehre? Wo ist das definiert? mfg cx


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Triceratops
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-16

Schau mal hier: https://ncatlab.org/nlab/show/structural+set+theory


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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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