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Kein bestimmter Bereich J Funktion; Relation
Magma93
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  Themenstart: 2021-06-08

Hallo, https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_15_Unbenannt.png Kann ich das bezogen auf die beschreibende Mengenschreibweise auch so schreiben? 1) $A \times B =\{(a,b) \in A \times B\ |\ a \in A,\ b \in B \}$ 2) Sei $f \subseteq A \times B$ Dann kann ich doch auch schreiben bezogen auf die beschreibende Mengenschreibweise: $f =\{(a,b) \in A \times B\ |\ a \in A,\ b \in B \}$ Oder? $f$ ist ja mengentheoretisch eine Menge bestehend aus geordneten Paaren (2-Tupe, Dupel). Dann könnte ich auch diese Menge $f$ mit einem anderen Buchstaben ausdrücken. Denn in der Mengenlehre werden ja Mengen für gewöhnlich mit Großbuchstaben angegeben. $f = G_f=\{(a,b) \in A \times B\ |\ a \in A,\ b \in B \}$ Danke im voraus.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-08

Hallo, Zu 1) Das ist halt etwas redundant wenn man $$ A\times B=\lbrace (a,b)\in A\times B\mid a\in A, b\in B\rbrace $$ schreibt. Also das $\in A\times B$ könnte man sich hier sparen. Wenn das aber als Definition gelesen werden soll, dann ist es in dem Sinne falsch, als dass eine Selbstreferenz vorliegt, die dann keinen Sinn ergibt. Also wenn $A\times B$ bereits definiert ist, dann kann man $$ A\times B=\lbrace (a,b)\in A\times B\mid a\in A, b\in B\rbrace $$ schreiben, auch wenn es etwas unnötig kompliziert ist. Wenn man $A\times B$ dadurch definieren will, dann kann man nicht $$ A\times B:=\lbrace (a,b)\in A\times B\mid a\in A, b\in B\rbrace $$ schreiben. Zu 2) Das ergibt nicht unbedingt Sinn. Du sagst ja $f\subseteq A\times B$. In der Mengenschreibweise unten drunter gilt dann aber $f=A\times B$. LG Nico


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-08

\quoteon(2021-06-08 07:03 - Magma93 im Themenstart) Kann ich das bezogen auf die beschreibende Mengenschreibweise auch so schreiben? 1) $A \times B =\{(a,b) \in A \times B\ |\ a \in A,\ b \in B \}$ \quoteoff Wenn du $A\times B$ definieren willst, dann sollte dieser Ausdruck nicht auf beiden Seiten vorkommen. \quoteon(2021-06-08 07:03 - Magma93 im Themenstart) 2) Sei $f \subseteq A \times B$ Dann kann ich doch auch schreiben bezogen auf die beschreibende Mengenschreibweise: $f =\{(a,b) \in A \times B\ |\ a \in A,\ b \in B \}$ \quoteoff Nein, das würde nicht $f\subseteq A\times B$, sondern $f=A\times B$ bedeuten. --zippy [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Magma93
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

Hallo Nico, danke erstmal. \quoteon Zu 1) Das ist halt etwas redundant wenn man $$ A\times B=\lbrace (a,b)\in A\times B\mid a\in A, b\in B\rbrace $$ schreibt. Also das $\in A\times B$ könnte man sich hier sparen. Wenn das aber als Definition gelesen werden soll, dann ist es in dem Sinne falsch, als dass eine Selbstreferenz vorliegt, die dann keinen Sinn ergibt. Also wenn $A\times B$ bereits definiert ist, dann kann man $$ A\times B=\lbrace (a,b)\in A\times B\mid a\in A, b\in B\rbrace $$ schreiben, auch wenn es etwas unnötig kompliziert ist. Wenn man $A\times B$ dadurch definieren will, dann kann man nicht $$ A\times B:=\lbrace (a,b)\in A\times B\mid a\in A, b\in B\rbrace $$ schreiben. \quoteoff Ach so okey, danke. Wenn wir bloß ein normale Äquivalenzrelation $\color{blue}{(=)}$ (Relationszeichen) darstellen wollen, so kann man es so schreiben, wie ich es geschrieben habe. Wenn ich aber etwas definieren will mit einem Definitionsgleichheitszeichen ($\color{blue}{:=})$, dann darf ich das nicht so schreiben, weil nicht die gleichen Ausdrücke links und rechts stehen sollen. Das hier wäre also falsch: \[\color{red}{A \times B} \color{blue}{:=}\{(a,b) \in \color{red}{A \times B}\ |\ a \in A,\ b \in B \}\] So wäre es richtig: \[A \times B \color{blue}{:=}\{(a,b) |\ a \in A,\ b \in B \}\ \ \ \ \color{green}{\surd}\] \quoteon Zu 2) Das ergibt nicht unbedingt Sinn. Du sagst ja $f\subseteq A\times B$. In der Mengenschreibweise unten drunter gilt dann aber $f=A\times B$. \quoteoff Ich habe in Wikipedia gesehen, dass sie das so dargestellt haben: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_16_Unbenannt.png https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionsgraph


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-09

\quoteon(2021-06-09 05:13 - Magma93 in Beitrag No. 3) Ich habe in Wikipedia gesehen, dass sie das so dargestellt haben: \quoteoff Die Menge, die du hingeschrieben hast,$$ \bigl\{(a,b)\in A\times B\bigm|a\in A,b\in B\bigr\} \;, $$und der Funktionsgraph aus der Wikipedia,$$ \bigl\{\bigl(a,f(a)\bigr)\in A\times B\bigm|a\in A\bigr\} \;, $$unterscheiden sich an einer entscheidende Stelle: Deine Menge enthält alle Kombinationen von $a$ und $b$ und fällt daher mit $A\times B$ zusammen, der Funktionsgraph aber nur solche Kombinationen, für die $b=f(a)$ ist.


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Magma93
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14

Tut mir leid für die späte Antwort. Ich habe es verstanden, danke. Habe noch Verständnisfragen. Ist ein Graph nur das, was man als Beispiel durch eine Wertetabelle festgelegt hat? Also, nehmen wir an, ich hätte eine Funktion $f(x)=x^2$ Und nehmen wir an, ich entscheide, dass ich für $x$ fünf Werte festlege. Dann ist der Graph nur der Teil, der aus diesen fünf Werten kombiniert wird, nicht mehr und nicht weniger. Oder? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_17_Unbenannt.png


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-14

\quoteon(2021-06-14 23:01 - Magma93 in Beitrag No. 5) Dann ist der Graph nur der Teil, der aus diesen fünf Werten kombiniert wird, nicht mehr und nicht weniger. Oder? \quoteoff Der Graph, also die Menge$$ \bigl\{\bigl(a,f(a)\bigr)\in A\times B\bigm|a\in A\bigr\} \;, $$enthält für jedes Element $a$ des Definitionsbereichs deiner Funktion $f$ genau einen Punkt $\bigl(a,f(a)\bigr)$. Wenn du also einen Graphen hast, der nur aus fünf Punkten besteht, dann muss auch der Definitionsbereich der Funktion aus nur fünf Elementen bestehen.


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Magma93
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15

Hallo zippy, danke. \quoteon Der Graph, also die Menge$$ \bigl\{\bigl(a,f(a)\bigr)\in A\times B\bigm|a\in A\bigr\} \;, $$enthält für jedes Element $a$ des Definitionsbereichs deiner Funktion $f$ genau einen Punkt $\bigl(a,f(a)\bigr)$. \quoteoff Genau. \quoteon Wenn du also einen Graphen hast, der nur aus fünf Punkten besteht, dann muss auch der Definitionsbereich der Funktion aus nur fünf Elementen bestehen. \quoteoff Ach so okey, das habe ich verstanden soweit. Dann hängt die Anzahl der Kombinationen vom Definitionsbereich ab, in welchem sich seine Elemente befinden, die durch eine Funktion in eine Zielmenge abgebildet werden. Alle Elemente aus der Definitionsmenge, die in in die Zielmenge abgebildet werden, werden als geordnete Paare der Form $(a, f(a))$ verstanden, wobei diese Geordneten Paare zusammengefasst als eine Menge $G_f=f$ verstanden werden.


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