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Mathematik » Topologie » Gram-Schmidt Orthonormalisierung stetig?
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Universität/Hochschule Gram-Schmidt Orthonormalisierung stetig?
kokosnusskopf
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  Themenstart: 2021-06-08

Wenn ich die Funktion \(o: GL(n) \to SO(n)\) betrachte, die einer invertierbaren Matrix die orthogonale Matrix zuweist, die entsteht, wenn man die Spalten nach dem Gram-Schmidt-Verfahren orthonormalisiert, ist diese Funktion dann stetig? Stetig hier im Sinne der Topologie und zwar genauer im Sinne der Standradtopologie auf \(\mathbb{R}^{n^2}\).


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, jeder Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens ist stetig. Damit muss auch das gesamte Verfahren als Verknüpfung von $n$ stetigen Abbildungen (je nachdem, was du als Schritt auffasst, können es auch mehr oder weniger Schritte sein, aber es ist immer eine konstante Zahl, die nur von $n$ abhängt) stetig sein.\(\endgroup\)


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kokosnusskopf
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-08

danke für die Antwort. Kannst du mir beispielhaft für einen Schritt aus dem Algorithmus beweisen, dass er stetig ist? Das wäre für mein Verständnis ziemlich hilfreich.


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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Starte mit einer invertierbaren Matrix $A$ mit den Spalten $v_1,\ldots, v_n$. Der erste Schritt bildet $A$ ab auf die Matrix mit den Spalten $\frac {v_1}{\|v_1\|}, v_2,\ldots, v_n$. Siehst du warum diese Abbildung stetig ist?\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-09

Ich habe ein schlechtes Gefühl dabei. Ich weiß nicht, ob der Satz vom Igel nicht etwas anderes sagt. Habe aber keine Zeit, das genauer zu recherchieren. Viele Grüße Wally


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-09

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ich habe kokosnusskopf gestern leider einfach geglaubt, dass man mit Gram-Schmidt eine Matrix in $\opn{SO}(n)$ erhält. Das ist nicht der Fall. Richtig wäre die Aussage, dass die Ausgangsbasis die gleiche Orientierung wie die orthonormalisierte Basis hat. Man erhält aber eine stetige Abbildung $\GL(n)\to \opn{O}(n)$. Um auf stetige Weise in $\opn{SO}(n)$ zu landen, könnte man z.B. nach der Orthonormalisierung von $A$ noch mit der Diagonalmatrix $\opn{diag}(\sgn(\det(A)),1,1,\ldots,1)$ multiplizieren.\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Eine Anwendung der Stetigkeit dieser Abbildung $\operatorname{GL}(n) \to O(n)$ ist übrigens der Nachweis der Mannigfaltigkeitseigenschaft der Stiefel Mannigfaltigkeiten.\(\endgroup\)


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