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Universität/Hochschule J Metrische Räume
LaserHeel
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  Themenstart: 2021-06-09

Hallo! Habe bei folgendem Bsp. ein Problem: Es sei ein abgeschlossener metrischer Raum $(X,d)$ und eine Funktion $f$, die auf einer abgeschlossenen Menge $A$ definiert und eine strikt kontraktive Selbstabbildung ist (Also Kontraktionskonstante $c$ strikt kleiner 1, Fixpunkt $x^*$). Nun sei die Folge $(x_n)$ gegeben, für die gilt: $x_{k+1} := f(x_k)$. Zu zeigen ist nun, dass folgende Fehlerabschätzung zum Banachschen Fixpunktsatz korrekt ist: $$d(x_k, x^*) \leq \frac{c}{1-c}d(x_k,x_{k-1})$$ Ich habe schon sehr viel probiert und auch herausgefunden, dass $(x_n)$ eine Cauchy-Folge sein muss und gegen $x^*$ konvergiert. Leider habe ich keinen wirklichen Ansatz, um das Beispiel zu lösen. Danke für Eure Hilfe. LG


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-09

Hallo, dazu musst du eigentlich nur induktiv immer wieder die Abschätzung anwenden, die du durch die Kontraktivität der Abbildung bekommst. Dadurch bekommst du sogar allgemein, dass $$ d(x_k,x^*)\leq \frac{c^k}{1-c}d(x_1,x_0) $$ gilt. Wenn man diese Tatsache bewiesen hat, dann erhält man für $k=1$, dass $$ d(x_1,x^*)\leq \frac{c}{1-c}d(x_1,x_0). $$ Da man den Startwert $x_0$ aber beliebig wählen kann gilt folglich $$ d(f(x),x^*)\leq \frac{c}{1-c}d(f(x),x) $$ für jedes $x\in A$ und speziell für $x=x_{k-1}$, dass $$ d(x_k,x^*)\leq \frac{c}{1-c}d(x_k,x_{k-1}). $$ LG Nico


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LaserHeel
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

Vielen Dank für die schnelle Antwort, Nico! Ich habe Deine erste Zeile nun für $d(x_k,x_{k+m})$ via Dreiecksungleichung bereits richtig abgeschätzt und die restlichen Zeilen sind eh logisch. Muss ich nun $m$ gegen unendlich laufen lassen, um die Abschätzung auch für $d(x_k,x^*)$ zu zeigen? LG


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-09

\quoteon(2021-06-09 16:25 - LaserHeel in Beitrag No. 2) Vielen Dank für die schnelle Antwort, Nico! Ich habe Deine erste Zeile nun für $d(x_k,x_{k+m})$ via Dreiecksungleichung bereits richtig abgeschätzt und die restlichen Zeilen sind eh logisch. Muss ich nun $m$ gegen unendlich laufen lassen, um die Abschätzung auch für $d(x_k,x^*)$ zu zeigen? LG \quoteoff Du solltest in etwa $$ d(x_{k+m},x_k)\leq \frac{c^k}{1-c}(1-c^m)d(x_1,x_0)\leq \frac{c^k}{1-c} d(x_1,x_0) $$ erhalten haben. Dann liefert $m\to \infty$ wie du richtig sagst die gewünschte Abschätzung. LG Nico


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LaserHeel
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

Sehr gut, dann hab ich das Bsp. jetzt. Danke nochmals für Deine tolle Hilfe! :) Schönen Tag noch und LG


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