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Analysis » Funktionenfolgen und -reihen » Funktionsfamilie und gleichmäßige Beschränktheit
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Universität/Hochschule Funktionsfamilie und gleichmäßige Beschränktheit
Fluadl
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Wohnort: Österreich
  Themenstart: 2021-06-09

Grüße! Ich hätte folgendes Beispiel zu lösen und wäre für ein paar Tipps sehr dankbar: Es sei $K$ ein kompaktes Intervall. Gegeben ist eine Funktionsfamilie $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{C}(K)$. Zeigen Sie: Ist $\mathcal{F}$ gleichstetig und punktweise beschränkt, dann ist $\mathcal{F}$ gleichmäßig beschränkt. Vielen Dank schon einmal im Voraus! LG Fluadl


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-10

Moin Fluadl, aufgrund der Gleichstetigkeit findet sich insbesondere zu jedem Punkt $x \in K$ ein $\delta_x > 0$ derart, dass mit der Definition $U_x := (x-\delta_x,x+\delta_x) \cap K$ für alle $y \in U_x$ und $f \in \mathcal{F}$ die Beziehung $|f(y)-f(x)| < 1$ und damit $|f(y)| < |f(x)|+1$ erfüllt ist. Die punktweise Beschränktheit impliziert weiters, dass $M_x := \sup_{f \in \mathcal{F}} |f(x)| < \infty$ für alle $x \in K$ gilt. Man hat also für jedes $x \in K$ und $f \in \mathcal{F}$ die Beziehung \[\|f|_{U_x}\|_{\infty} \le M_x+1.\] Um die zu beweisende Aussage zu folgern, überlege dir, was du aus der Kompaktheit von $K$ (insbesondere im Zusammenhang mit der Familie $(U_x)_{x \in K}$) schließen kannst. LG, semasch


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